תרגול פסיכומטרי כמותית

במשוואה לינארית יש משימה אחת: לבודד את $x$. כל השאר זה רעש.

1. נקו את הקבועים מהאגף של $x$. כאן יש $+7$ — נחסר 7 משני הצדדים: $3x=22-7=15$.
2. חלקו במקדם של $x$: $x=\frac{15}{3}=5$.
3. בדקו בהצבה: $3\cdot 5+7=15+7=22$. תאמינו או לא — זו לא בזבוז זמן, זה ביטוח של 5 שניות שמציל אתכם מטעויות סימן.

המלכודת הקלאסית: לחסר 7 רק מצד אחד. זכרו — המשוואה כמו מאזניים. כל מה שעושים לצד אחד, חייבים לעשות גם לצד השני.

הטריק כאן: כשיש $x$ בשני האגפים, צריך 'לאסוף' אותם לצד אחד.

אסטרטגיית זינוק: $x$ למעלה משמאל, מספרים לימין. בואו ננסה.

1. העבירו $2x$ שמאלה (משנה סימן): $5x-2x-4=11$, כלומר $3x-4=11$.
2. העבירו $-4$ ימינה (משנה סימן): $3x=11+4=15$.
3. חלקו ב-3: $x=5$.
4. בדיקה: $5\cdot 5-4=21$, ו-$2\cdot 5+11=21$. תואם.

המלכודת הקלאסית: לשכוח להפוך סימן כשמעבירים אגף. $+2x$ ימינה הופך ל-$-2x$ שמאלה. אם תזכרו את 'מי שעובר אגף — מחליף בגדים', לא תיפלו.

השלב הראשון בכל משוואה עם סוגריים: לפתוח אותם. רק אחר כך מתחילים את משחק האגפים.

1. פתחו סוגריים: המקדם 2 מתחלק לכל איבר בפנים. $2(x-3)=2x-6$. שימו לב למינוס — לא להתעלם.
2. עכשיו: $2x-6=4x+6$.
3. העבירו $2x$ ימינה ו-$6$ שמאלה: $-6-6=4x-2x$, כלומר $-12=2x$.
4. חלקו ב-2: $x=-6$.
5. בדיקה: $2(-6-3)=2\cdot (-9)=-18$, ו-$4(-6)+6=-24+6=-18$. נכון.

המלכודת הקלאסית: לכתוב $2(x-3)=2x-3$, כאילו ה-2 מתחלק רק ל-$x$. אסור! המקדם נכנס לכל איבר בפנים, כולל המינוס.

המשולש הקסום של תנועה: מרחק, מהירות, זמן.
$\text{מרחק}=\text{מהירות}\cdot \text{זמן}$.
1. נתון: מרחק 240, מהירות 80.
2. זמן: $t=\frac{d}{v}=\frac{240}{80}=3$ שעות.
טריק קטן: כסו במחשבה את מה שמחפשים בנוסחה $d=v\cdot t$, ותראו ישר את הפעולה.
המלכודת הקלאסית כאן: לבלבל יחידות. תמיד ודאו — קמ"ש לק"מ ולשעות, מ/שנייה למטרים ושניות.

בעיית פועלים — אחת המלכודות הגדולות של פסיכומטרי.
המוח רוצה לעשות $\frac{6+12}{2}=9$ או משהו דומה. שגוי.
הטריק: לעבוד עם קצבים, לא עם זמנים. אם פועל מסיים ב-6 שעות, הקצב שלו $\frac{1}{6}$ עבודה בשעה.
1. קצב פועל א: $\frac{1}{6}$.
2. קצב פועל ב: $\frac{1}{12}$.
3. קצב משולב: $\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2+1}{12}=\frac{1}{4}$.
4. זמן: $\frac{1}{1/4}=4$ שעות.
זכרו: בעיית פועלים — חברו קצבים, לא זמנים. ביחד מסיימים מהר יותר מהמהיר ביותר.

בעיית גילים קלאסית — אבל הנוסח כאן מבולבל. נציע פתרון תקני:
נסמן: גיל ב' היום = $x$. גיל א' היום = $x+5$.
1. בעוד 10 שנים: גיל א' = $x+15$, גיל ב' = $x+10$.
2. נתון: $x+15=1.5\cdot (\text{גיל ב’ היום או אז})$.
אם הניסוח 'פי 1.5 מגיל ב' היום': $x+15=1.5x\Rightarrow x=30$.
אם הניסוח 'פי 1.5 מגיל ב' אז': $x+15=1.5(x+10)\Rightarrow x=0$ (לא אפשרי).
מלכודת הניסוח: השאלה הזאת לא חד-משמעית. הפתרון העובד דורש פרשנות מסוימת.
זכרו — בכל בעיית גילים, סמנו 'גיל היום', ובנה משוואה אחת. כל המשתתפים מבוגרים באותו זמן.

תאמינו או לא — 25% זה לא יותר מרבע במסווה.
אז במקום לרוץ ל-$\frac{25}{100}$ ולסבול, תרגמו בראש:
1. $25\%=\frac{1}{4}$.
2. רבע מ-80 = $\frac{80}{4}=20$.
ככה אתם חוסכים שניות יקרות בשאלות הקלות, ומשאירים אנרגיה ליותר קשות.
המלכודת הקלאסית כאן: לקרוא '25' ולחשב 25 (התשובה השגויה במסיח).
תזכרו — אחוז זה תמיד 'מתוך 100'. אם הוא נחמד (25, 50, 20, 10) — תרגמו לשבר ותחסכו את המחשבון.

שימו לב לפח הראשון: כשמדברים על אחוז ירידה, השאלה היא 'ביחס למה?'.
התשובה תמיד אותה תשובה — ביחס למחיר ההתחלתי, לא הסופי.
1. ההפרש: $200-150=50$ ש"ח.
2. נחלק במחיר ההתחלתי: $\frac{50}{200}=\frac{1}{4}=25\%$.
המלכודת הקלאסית: לחלק ב-150 (המחיר הסופי). זה ייתן 33.3% — אופציה במסיחים, לא במקרה.
זכרו את הכלל: 'אחוז שינוי = הפרש חלקי המקורי'. תמיד המקורי.

המוח הישראלי שלכם רוצה לחבר: $+20\%-20\%=0$. זאת המלכודת הקלאסית של פסיכומטרי.
במציאות — אחוזים לא מתחברים, הם מתכפלים. בואו ננסה עם מספר נחמד.
1. נניח מחיר התחלתי 100 (תמיד עובד באחוזים).
2. אחרי עלייה: $100\cdot 1.2=120$.
3. אחרי ירידה: $120\cdot 0.8=96$.
אז הירידה הכוללת היא 4%. למה? כי 20% השני חושב ממספר גדול יותר.
זכרו: עלייה ואז ירידה באותו אחוז → אובדן של $\frac{p^2}{100}\%$.

המוח רוצה לחבר: 25% עליה ועוד 20% ירידה → '5% עלייה' או '0'. הראשון: מלכודת. השני: צירוף מקרים מרהיב.
1. נניח מחיר התחלתי 100. אחרי עלייה: $100\cdot 1.25=125$.
2. אחרי ירידה: $125\cdot 0.80=100$.
3. תאמינו או לא — חזרנו בדיוק למקור.
הסיבה: $1.25\cdot 0.80=1$ בדיוק. שכדאי לזכור.
זכרו: לרוב, עלייה ואז ירידה לא נותנים אפס שינוי. כאן זה צירוף מספרים מיוחד.

כבר ראינו את זה (qd-004). לחזור אחורה מהנחה — חלקו במקדם, אל תוסיפו.
1. אחרי הנחה של 15%, שילמנו 85% מהמקורי.
2. $0.85x=170\Rightarrow x=\frac{170}{0.85}=200$.
המלכודת הקלאסית: לעשות $170\cdot 1.15=195.5$ — בדיוק במסיחים.
זכרו: $0.85\cdot 200=170$, אבל $170\cdot 1.15=195.5\ne 200$. 15% מ-200 שונה מ-15% מ-170.

שאלת אחוז של אחוז — צריך להיזהר. הירידה היא מהקצב המוגבר, לא ההתחלתי.
1. נסמן קצב התחלתי: $x$.
2. אחרי עלייה של 40%: $1.4x$.
3. אחרי ירידה של 25% מהקצב המוגבר: $1.4x\cdot 0.75=1.05x$.
4. נתון: $1.05x=84\Rightarrow x=\frac{84}{1.05}=80$.
בדיקה: $80\to 112\to 112\cdot 0.75=84$. נכון.
זכרו — תמיד שימו לב 'אחוז ממה'. שינוי גודל יסודי בתשובה.

המוח רוצה לחבר את המונים ולחבר את המכנים. שמרו את הניחוש לאתיופיה — פה רוצים חישוב נכון.

הכלל: כדי לחבר שברים צריך מכנה משותף. רק אז מחברים את המונים (לא את המכנים!).

1. מכנה משותף של 2 ו-3 הוא 6 (הכפולה המשותפת הקטנה).
2. הרחיבו את השברים: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ (כפל מונה ומכנה ב-3). $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ (כפל ב-2).
3. חברו מונים (המכנה נשאר): $\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$.

המלכודת הקלאסית הענקית: לכתוב $\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$. גם התשובה הזו מופיעה בין האפשרויות, והיא מחכה לכל מי שלא קלט שהשבר הוא חלוקה, לא איסוף. אם תחברו ככה, $\frac{1}{2}$ ועוד $\frac{1}{2}$ יהפכו ל-$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ — שזה אבסורד, כי שני חצאים הם שלם.

כלל זהב: חיבור שברים = מכנה משותף + חיבור מונים בלבד.

במכפלת שברים יש כלל פשוט: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה.

אבל הטריק האמיתי הוא לצמצם אלכסונית לפני הכפל. זה חוסך מספרים גדולים וטעויות.

1. זהו צמצומים אפשריים:
- 2 (מונה ראשון) ו-4 (מכנה שני) — שניהם מתחלקים ב-2.
- 3 (מכנה ראשון) ו-9 (מונה שני) — שניהם מתחלקים ב-3.
2. צמצמו: $\frac{{\cancel{2}}^1}{{\cancel{3}}^1}\cdot \frac{{\cancel{9}}^3}{{\cancel{4}}^2}=\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.

בדרך אחרת: $\frac{2\cdot 9}{3\cdot 4}=\frac{18}{12}$, אז מצמצמים ב-6: $\frac{3}{2}$. תוצאה זהה, אבל מספרים מסורבלים יותר.

המלכודת הקלאסית: לחבר במקום לכפול. או לצמצם לא נכון — למשל לחשוב שאפשר לצמצם 2 ו-3. אסור! צמצום באלכסון רק בין מונה למכנה (לא בין שני מונים או שני מכנים).

המנטרה הקדושה של חילוק שברים: תפסו, הפכו, כפלו.

הכלל: $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$.

1. תפסו את השבר הראשון: $\frac{3}{4}$.
2. הפכו את השבר השני (מונה ↔ מכנה): $\frac{5}{2}$.
3. כפלו: $\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$.

תאמינו או לא — שלוש שניות.

המלכודת הקלאסית: להפוך את השבר הראשון במקום השני (אסור). או לכפול כרגיל בלי להפוך — שגיאה גסה. תמיד את השני, ואז כפלו.

למה זה עובד? כי חלוקה ב-$\frac{2}{5}$ זהה לכפל ב-$\frac{5}{2}$, מאותה סיבה שחלוקה ב-2 זהה לכפל ב-$\frac{1}{2}$.

מלבן — הצורה הכי בנאלית בעולם. שטח = אורך כפול רוחב.
1. $A=8\cdot 5=40$ סמ"ר.
זהו. שאלה שכדאי לפתור בעשר שניות ולעבור הלאה.
המלכודת הקלאסית כאן: לחשוב על היקף ($2(8+5)=26$) במקום שטח. בדיוק שני המסיחים יחד.
תזכרו: שטח = יחידות בריבוע (סמ"ר). היקף = יחידות לינאריות (ס"מ). שונה במהות.

יש לנו משולש ישר-זווית עם ניצבים 6 ו-8. השאלה: מה היתר?
כאן נכנס משפט פיתגורס — חבר הכי טוב של פסיכומטרי.
1. $c^2=a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$.
2. $c=\sqrt{100}=10$ ס"מ.
המספרים 6-8-10 צריכים להדליק לכם נורה — זאת השלשה הקלאסית 3-4-5 כפול 2.
זכרו את השלשות המפורסמות: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. אם מזהים — חוסכים את החישוב.
המלכודת הקלאסית: לחבר את הניצבים ($6+8=14$) — לא, פיתגורס דורש ריבועים.

עיגול עם רדיוס 7. רוצים היקף.
נוסחת הזהב לעיגול: היקף = $2\pi r$.
1. $C=2\pi \cdot 7=14\pi$ ס"מ.
המלכודת הקלאסית: לבלבל בין היקף לשטח.
היקף = $2\pi r$ (לינארי ב-$r$). שטח = $\pi r^2$ (ריבועי ב-$r$).
זכרו: שטח תמיד עם 'בריבוע' (יחידות בריבוע). היקף בלי. אם רואים $\pi r^2$ — זה שטח.

המוח רוצה לרוץ משמאל לימין ולחבר $3+4=7$ — עצרו שם. הכלל הקדוש של סדר פעולות אומר: כפל וחילוק קודמים לחיבור וחיסור.

1. קודם מבצעים את הכפל: $4\cdot 5=20$.
2. עכשיו הביטוי הופך לפשוט: $3+20-2$.
3. חיבור וחיסור באותה דרגה — נלך משמאל לימין: $3+20=23$, אחר כך $23-2=21$.

המלכודת הקלאסית: לחבר את $3+4$ בהתחלה ולקבל $7\cdot 5-2=33$. גם 33 מופיע בין התשובות — מי שממהר נופל בו. סמנו עיגול סביב הכפל לפני שמתחילים, ותהיו מוגנים.

השאלה הזו בעצם בוחנת דבר אחד: סימן של חזקה עם בסיס שלילי. זכרו את הכלל הזהב — חזקה זוגית מנקה את המינוס, חזקה אי-זוגית משאירה אותו.

1. $(-3{)}^2=(-3)\cdot (-3)=9$. שני מינוסים מתבטלים, התוצאה חיובית.
2. $(-2{)}^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)$. השניים הראשונים נותנים $+4$, ועוד כפל ב-$-2$ הופך לשלילי: $-8$.
3. סוגרים: $9+(-8)=1$.

אל תיפלו במלכודת הקלאסית: לכתוב $(-3{)}^2=-9$ כאילו המינוס ברח מהסוגריים. הסוגריים שומרים על המינוס בפנים — הוא חלק מהבסיס.

טריק: לפני שמתחילים לחשב, זכרו שהשורש לא 'נכנס' לחיבור. צריך לחשב כל שורש בנפרד.

1. $\sqrt{144}=12$ — כי $12\cdot 12=144$.
2. $\sqrt{25}=5$ — כי $5\cdot 5=25$.
3. סוגרים: $12+5=17$.

המלכודת הקלאסית כאן ענקית: לכתוב $\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$. נשמע מפתה, אבל זה פשוט אסור. $\sqrt{a+b}$ זה לא $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. השורש לא דיסטריבוטיבי על חיבור — רק על כפל וחילוק.

אם תרצו לקצר זמן — שננו בעל פה את הריבועים עד 15. כל שורש שלם שתיתקלו בו יקפוץ אליכם תוך שנייה.

שתי קוביות — בואו נחשוב אינטואיטיבית קודם.
כמה תוצאות סך הכל? $6\cdot 6=36$ (כל קובייה 6 אפשרויות).
כמה מתוכן נותנות סכום 7?
1. רשימה: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) — 6 מקרים.
2. הסתברות: $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
זכרו — מבין כל הסכומים האפשריים ב-2 קוביות (2 עד 12), הסכום 7 הוא בעל הכי הרבה מקרים. זאת הסיבה ש-7 הוא 'מספר מזל' בקובייה.

ללא החזרה — הסתברות הראשון משפיעה על השני.
כמה כדורים יש סך הכל? $5+3=8$.
1. הראשון אדום: $\frac{5}{8}$.
2. בהינתן שהראשון אדום, נשארו 4 אדומים מתוך 7: $\frac{4}{7}$.
3. הסתברות שניהם אדומים: $\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$.
זכרו — ללא החזרה: הכפילו הסתברויות עוקבות, אבל עדכנו את המונה והמכנה אחרי כל שליפה.

מטבע, 3 הטלות, בדיוק 2 ראשים.
כמה תוצאות סך הכל? $2^3=8$.
כמה מתוכן בדיוק 2 ראשים? נמנה: HHT, HTH, THH — 3 מקרים.
הסתברות: $\frac{3}{8}$.
בנוסחה: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$.
זכרו — התפלגות בינומית: $P(k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$. לזכור.

מהמשוואות מקבלים $y=150$ ו-$x=100$. החלק של $y$ מתוך הסכום הוא $\frac{150}{250}=\frac{60}{100}=60\%$.

אם $9$ סיגליות הן $36\%$, אז סך הפרחים ההתחלתי הוא $25$. לאחר מכירת $X$ כרכומים מספר הסיגליות נשאר $9$ והוא מהווה $45\%$: $\frac{9}{25-X}=0.45$, ולכן $25-X=20$ ומכאן $X=5$.

נציב מחיר $1$. יותם: $0.6$. נוגה: $1.4\cdot 0.6=0.84$. יובל: $0.8\cdot 0.8=0.64$. הנמוך ביותר הוא של יותם ($0.6$).