תרגול פסיכומטרי כמותית

במשוואה לינארית יש משימה אחת: לבודד את $x$. כל השאר זה רעש.

1. **נקה את הקבועים** מהאגף של $x$. כאן יש $+7$ — נחסר 7 משני הצדדים: $3x = 22 - 7 = 15$.
2. **חלק במקדם של $x$**: $x = \frac{15}{3} = 5$.
3. **בדוק בהצבה**: $3 \cdot 5 + 7 = 15 + 7 = 22$. תאמין או לא — זו לא בזבוז זמן, זה ביטוח של 5 שניות שמציל אותך מטעויות סימן.

המלכודת הקלאסית: לחסר 7 רק מצד אחד. תזכור — המשוואה כמו מאזניים. כל מה שאתה עושה לצד אחד, חייב לעשות גם לצד השני.

הטריק כאן: כשיש $x$ בשני האגפים, צריך 'לאסוף' אותם לצד אחד.

אסטרטגיית זינוק: $x$ למעלה משמאל, מספרים לימין. בוא ננסה.

1. **העבר $2x$ שמאלה** (משנה סימן): $5x - 2x - 4 = 11$, כלומר $3x - 4 = 11$.
2. **העבר $-4$ ימינה** (משנה סימן): $3x = 11 + 4 = 15$.
3. **חלק ב-3**: $x = 5$.
4. בדיקה: $5 \cdot 5 - 4 = 21$, ו-$2 \cdot 5 + 11 = 21$. תואם.

המלכודת הקלאסית: לשכוח להפוך סימן כשמעבירים אגף. $+2x$ ימינה הופך ל-$-2x$ שמאלה. אם תזכור את 'מי שעובר אגף — מחליף בגדים', לא תיפול.

השלב הראשון בכל משוואה עם סוגריים: לפתוח אותם. רק אחר כך מתחילים את משחק האגפים.

1. **פתח סוגריים**: המקדם 2 מתחלק לכל איבר בפנים. $2(x-3) = 2x - 6$. שים לב למינוס — לא להתעלם.
2. עכשיו: $2x - 6 = 4x + 6$.
3. **העבר $2x$ ימינה ו-$6$ שמאלה**: $-6 - 6 = 4x - 2x$, כלומר $-12 = 2x$.
4. **חלק ב-2**: $x = -6$.
5. בדיקה: $2(-6-3) = 2 \cdot (-9) = -18$, ו-$4(-6)+6 = -24+6 = -18$. נכון.

המלכודת הקלאסית: לכתוב $2(x-3) = 2x - 3$, כאילו ה-2 מתחלק רק ל-$x$. אסור! המקדם נכנס לכל איבר בפנים, כולל המינוס.

המשולש הקסום של תנועה: מרחק, מהירות, זמן.
$\text{מרחק} = \text{מהירות} \cdot \text{זמן}$.
1. נתון: מרחק 240, מהירות 80.
2. זמן: $t = \frac{d}{v} = \frac{240}{80} = 3$ שעות.
טריק קטן: כסה במחשבה את מה שאתה מחפש בנוסחה $d = v \cdot t$, ותראה ישר את הפעולה.
המלכודת הקלאסית כאן: לבלבל יחידות. תמיד תוודא — קמ"ש לק"מ ולשעות, מ/שנייה למטרים ושניות.

בעיית פועלים — אחת המלכודות הגדולות של פסיכומטרי.
המוח רוצה לעשות $\frac{6+12}{2} = 9$ או משהו דומה. שגוי.
הטריק: לעבוד עם קצבים, לא עם זמנים. אם פועל מסיים ב-6 שעות, הקצב שלו $\frac{1}{6}$ עבודה בשעה.
1. קצב פועל א: $\frac{1}{6}$.
2. קצב פועל ב: $\frac{1}{12}$.
3. קצב משולב: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{1}{4}$.
4. זמן: $\frac{1}{1/4} = 4$ שעות.
תזכור: בעיית פועלים — חבר קצבים, לא זמנים. ביחד מסיימים מהר יותר מהמהיר ביותר.

בעיית גילים קלאסית — אבל הנוסח כאן מבולבל. נציע פתרון תקני:
נסמן: גיל ב' היום = $x$. גיל א' היום = $x + 5$.
1. בעוד 10 שנים: גיל א' = $x + 15$, גיל ב' = $x + 10$.
2. נתון: $x + 15 = 1.5 \cdot (\text{גיל ב' היום או אז})$.
אם הניסוח 'פי 1.5 מגיל ב' היום': $x + 15 = 1.5x \Rightarrow x = 30$.
אם הניסוח 'פי 1.5 מגיל ב' אז': $x + 15 = 1.5(x+10) \Rightarrow x = 0$ (לא אפשרי).
מלכודת הניסוח: השאלה הזאת לא חד-משמעית. הפתרון העובד דורש פרשנות מסוימת.
תזכור — בכל בעיית גילים, סמן 'גיל היום', ובנה משוואה אחת. כל המשתתפים מבוגרים באותו זמן.

תאמינו או לא — 25% זה לא יותר מרבע במסווה.
אז במקום לרוץ ל-$\frac{25}{100}$ ולסבול, תתרגם בראש:
1. $25\% = \frac{1}{4}$.
2. רבע מ-80 = $\frac{80}{4} = 20$.
ככה אתם חוסכים שניות יקרות בשאלות הקלות, ומשאירים אנרגיה ליותר קשות.
המלכודת הקלאסית כאן: לקרוא '25' ולחשב 25 (התשובה השגויה במסיח).
תזכרו — אחוז זה תמיד 'מתוך 100'. אם הוא נחמד (25, 50, 20, 10) — תרגמו לשבר ותחסכו את המחשבון.

שים לב לפח הראשון: כשמדברים על אחוז ירידה, השאלה היא 'ביחס למה?'.
התשובה תמיד אותה תשובה — ביחס למחיר ההתחלתי, לא הסופי.
1. ההפרש: $200 - 150 = 50$ ש"ח.
2. נחלק במחיר ההתחלתי: $\frac{50}{200} = \frac{1}{4} = 25\%$.
המלכודת הקלאסית: לחלק ב-150 (המחיר הסופי). זה ייתן 33.3% — אופציה במסיחים, לא במקרה.
תזכור את הכלל: 'אחוז שינוי = הפרש חלקי המקורי'. תמיד המקורי.

המוח הישראלי שלך רוצה לחבר: $+20\% - 20\% = 0$. זאת המלכודת הקלאסית של פסיכומטרי.
במציאות — אחוזים לא מתחברים, הם מתכפלים. בואו ננסה עם מספר נחמד.
1. נניח מחיר התחלתי 100 (תמיד עובד באחוזים).
2. אחרי עלייה: $100 \cdot 1.2 = 120$.
3. אחרי ירידה: $120 \cdot 0.8 = 96$.
אז הירידה הכוללת היא 4%. למה? כי 20% השני חושב ממספר גדול יותר.
תזכור: עלייה ואז ירידה באותו אחוז → אובדן של $\frac{p^2}{100}\%$.

המוח רוצה לחבר: 25% עליה ועוד 20% ירידה → '5% עלייה' או '0'. הראשון: מלכודת. השני: צירוף מקרים מרהיב.
1. נניח מחיר התחלתי 100. אחרי עלייה: $100 \cdot 1.25 = 125$.
2. אחרי ירידה: $125 \cdot 0.80 = 100$.
3. תאמינו או לא — חזרנו בדיוק למקור.
הסיבה: $1.25 \cdot 0.80 = 1$ בדיוק. שכדאי לזכור.
תזכור: לרוב, עלייה ואז ירידה לא נותנים אפס שינוי. כאן זה צירוף מספרים מיוחד.

כבר ראינו את זה (qd-004). לחזור אחורה מהנחה — חלק במקדם, אל תוסיף.
1. אחרי הנחה של 15%, שילמנו 85% מהמקורי.
2. $0.85x = 170 \Rightarrow x = \frac{170}{0.85} = 200$.
המלכודת הקלאסית: לעשות $170 \cdot 1.15 = 195.5$ — בדיוק במסיחים.
תזכור: $0.85 \cdot 200 = 170$, אבל $170 \cdot 1.15 = 195.5 \ne 200$. 15% מ-200 שונה מ-15% מ-170.

שאלת אחוז של אחוז — צריך להיזהר. הירידה היא מהקצב המוגבר, לא ההתחלתי.
1. נסמן קצב התחלתי: $x$.
2. אחרי עלייה של 40%: $1.4x$.
3. אחרי ירידה של 25% מהקצב המוגבר: $1.4x \cdot 0.75 = 1.05x$.
4. נתון: $1.05x = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{1.05} = 80$.
בדיקה: $80 \to 112 \to 112 \cdot 0.75 = 84$. נכון.
תזכור — תמיד שים לב 'אחוז ממה'. שינוי גודל יסודי בתשובה.

המוח רוצה לחבר את המונים ולחבר את המכנים. שמרו את הניחוש לאתיופיה — פה רוצים חישוב נכון.

הכלל: כדי לחבר שברים צריך מכנה משותף. רק אז מחברים את המונים (לא את המכנים!).

1. **מכנה משותף** של 2 ו-3 הוא 6 (הכפולה המשותפת הקטנה).
2. **הרחב את השברים**: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ (כפל מונה ומכנה ב-3). $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ (כפל ב-2).
3. **חבר מונים** (המכנה נשאר): $\frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.

המלכודת הקלאסית הענקית: לכתוב $\frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$. זו תשובה (ב), והיא מחכה לכל מי שלא קלט שהשבר הוא חלוקה, לא איסוף. אם תחבר ככה, $\frac{1}{2}$ ועוד $\frac{1}{2}$ יהפכו ל-$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ — שזה אבסורד, כי שני חצאים הם שלם.

כלל זהב: חיבור שברים = מכנה משותף + חיבור מונים בלבד.

במכפלת שברים יש כלל פשוט: מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה.

אבל הטריק האמיתי הוא **לצמצם אלכסונית לפני הכפל**. זה חוסך מספרים גדולים וטעויות.

1. **זהה צמצומים אפשריים**:
- 2 (מונה ראשון) ו-4 (מכנה שני) — שניהם מתחלקים ב-2.
- 3 (מכנה ראשון) ו-9 (מונה שני) — שניהם מתחלקים ב-3.
2. **צמצם**: $\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{4}^2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

בדרך אחרת: $\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12}$, אז מצמצמים ב-6: $\frac{3}{2}$. תוצאה זהה, אבל מספרים מסורבלים יותר.

המלכודת הקלאסית: לחבר במקום לכפול. או לצמצם לא נכון — למשל לחשוב שאפשר לצמצם 2 ו-3. אסור! צמצום באלכסון רק בין מונה למכנה (לא בין שני מונים או שני מכנים).

המנטרה הקדושה של חילוק שברים: **תפוס, הפוך, כפול**.

הכלל: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

1. **תפוס** את השבר הראשון: $\frac{3}{4}$.
2. **הפוך** את השבר השני (מונה ↔ מכנה): $\frac{5}{2}$.
3. **כפול**: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$.

תאמין או לא — שלוש שניות.

המלכודת הקלאסית: להפוך את השבר ה**ראשון** במקום השני (אסור). או לכפול כרגיל בלי להפוך — שגיאה גסה. תמיד את השני, ואז כפול.

למה זה עובד? כי חלוקה ב-$\frac{2}{5}$ זהה לכפל ב-$\frac{5}{2}$, מאותה סיבה שחלוקה ב-2 זהה לכפל ב-$\frac{1}{2}$.

מלבן — הצורה הכי בנאלית בעולם. שטח = אורך כפול רוחב.
1. $A = 8 \cdot 5 = 40$ סמ"ר.
זהו. שאלה שכדאי לפתור בעשר שניות ולעבור הלאה.
המלכודת הקלאסית כאן: לחשוב על היקף ($2(8+5) = 26$) במקום שטח. בדיוק שני המסיחים יחד.
תזכרו: שטח = יחידות בריבוע (סמ"ר). היקף = יחידות לינאריות (ס"מ). שונה במהות.

יש לנו משולש ישר-זווית עם ניצבים 6 ו-8. השאלה: מה היתר?
כאן נכנס משפט פיתגורס — חבר הכי טוב של פסיכומטרי.
1. $c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
2. $c = \sqrt{100} = 10$ ס"מ.
המספרים 6-8-10 צריכים להדליק לך נורה — זאת השלשה הקלאסית 3-4-5 כפול 2.
תזכור את השלשות המפורסמות: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. אם מזהים — חוסכים את החישוב.
המלכודת הקלאסית: לחבר את הניצבים ($6+8=14$) — לא, פיתגורס דורש ריבועים.

עיגול עם רדיוס 7. רוצים היקף.
נוסחת הזהב לעיגול: היקף = $2\pi r$.
1. $C = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$ ס"מ.
המלכודת הקלאסית: לבלבל בין היקף לשטח.
היקף = $2\pi r$ (לינארי ב-$r$). שטח = $\pi r^2$ (ריבועי ב-$r$).
תזכור: שטח תמיד עם 'בריבוע' (יחידות בריבוע). היקף בלי. אם רואים $\pi r^2$ — זה שטח.

המוח רוצה לרוץ משמאל לימין ולחבר $3+4=7$ — עצור שם. הכלל הקדוש של סדר פעולות אומר: כפל וחילוק קודמים לחיבור וחיסור.

1. קודם מבצעים את הכפל: $4 \cdot 5 = 20$.
2. עכשיו הביטוי הופך לפשוט: $3 + 20 - 2$.
3. חיבור וחיסור באותה דרגה — נלך משמאל לימין: $3 + 20 = 23$, אחר כך $23 - 2 = 21$.

המלכודת הקלאסית: לחבר את $3+4$ בהתחלה ולקבל $7 \cdot 5 - 2 = 33$. זו תשובה (ב) — מי שממהר נופל בה. סמן עיגול סביב הכפל לפני שאתה מתחיל, ותהיה מוגן.

השאלה הזו בעצם בוחנת דבר אחד: סימן של חזקה עם בסיס שלילי. תזכור את הכלל הזהב — חזקה זוגית מנקה את המינוס, חזקה אי-זוגית משאירה אותו.

1. $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$. שני מינוסים מתבטלים, התוצאה חיובית.
2. $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$. השניים הראשונים נותנים $+4$, ועוד כפל ב-$-2$ הופך לשלילי: $-8$.
3. סוגרים: $9 + (-8) = 1$.

אל תיפול במלכודת הקלאסית: לכתוב $(-3)^2 = -9$ כאילו המינוס ברח מהסוגריים. הסוגריים שומרים על המינוס בפנים — הוא חלק מהבסיס.

טריק: לפני שמתחילים לחשב, תזכור שהשורש לא 'נכנס' לחיבור. צריך לחשב כל שורש בנפרד.

1. $\sqrt{144} = 12$ — כי $12 \cdot 12 = 144$.
2. $\sqrt{25} = 5$ — כי $5 \cdot 5 = 25$.
3. סוגרים: $12 + 5 = 17$.

המלכודת הקלאסית כאן ענקית: לכתוב $\sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$. נשמע מפתה, אבל זה פשוט אסור. $\sqrt{a+b}$ זה לא $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. השורש לא דיסטריבוטיבי על חיבור — רק על כפל וחילוק.

אם חפץ ליבך לקצר זמן — שנן בעל פה את הריבועים עד 15. כל שורש שלם שתתקל בו יקפוץ אליך תוך שנייה.

שתי קוביות — בואו נחשוב אינטואיטיבית קודם.
כמה תוצאות סך הכל? $6 \cdot 6 = 36$ (כל קובייה 6 אפשרויות).
כמה מתוכן נותנות סכום 7?
1. רשימה: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) — 6 מקרים.
2. הסתברות: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
תזכור — מבין כל הסכומים האפשריים ב-2 קוביות (2 עד 12), הסכום 7 הוא בעל הכי הרבה מקרים. זאת הסיבה ש-7 הוא 'מספר מזל' בקובייה.

ללא החזרה — הסתברות הראשון משפיעה על השני.
כמה כדורים יש סך הכל? $5 + 3 = 8$.
1. הראשון אדום: $\frac{5}{8}$.
2. בהינתן שהראשון אדום, נשארו 4 אדומים מתוך 7: $\frac{4}{7}$.
3. הסתברות שניהם אדומים: $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$.
תזכור — ללא החזרה: הכפל הסתברויות עוקבות, אבל עדכן את המונה והמכנה אחרי כל שליפה.

מטבע, 3 הטלות, בדיוק 2 ראשים.
כמה תוצאות סך הכל? $2^3 = 8$.
כמה מתוכן בדיוק 2 ראשים? נמנה: HHT, HTH, THH — 3 מקרים.
הסתברות: $\frac{3}{8}$.
בנוסחה: $\binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.
תזכור — התפלגות בינומית: $P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. לזכור.

מהמשוואות מקבלים $y=150$ ו-$x=100$. החלק של $y$ מתוך הסכום הוא $\frac{150}{250}=\frac{60}{100}=60\%$.

אם $9$ סיגליות הן $36\%$, אז סך הפרחים ההתחלתי הוא $25$. לאחר מכירת $X$ כרכומים מספר הסיגליות נשאר $9$ והוא מהווה $45\%$: $\frac{9}{25-X}=0.45$, ולכן $25-X=20$ ומכאן $X=5$.

נציב מחיר $1$. יותם: $0.6$. נוגה: $1.4\cdot 0.6=0.84$. יובל: $0.8\cdot 0.8=0.64$. הנמוך ביותר הוא של יותם ($0.6$).