מושגים בפסיכומטרי: גופים תלת ממדיים — נפח ושטח פנים

גופים תלת-ממדיים: מבט על

פאה, מקצוע, שטח פנים ונפח — בתיבה, בקובייה ובמנסרה

מקצוע הוא קו בתלת מימד. לדוגמה: הקו המודגש בשרטוט הוא מקצוע.

פאה היא משטח בתלת מימד. לדוגמה: המשטחים המושחרים בשרטוטים הם פאות.

שטח פנים (כל מה שנוגע באוויר)- סכום שטחי כל פאות הגוף התלת מימדי (בסיסיו ופאותיו הצדדיות). שטח מעטפת (האצה בסושי)- סכום שטחי הפאות הצדדיות, בעצם שטח הפנים לא כולל הבסיסים. נפח (כמה ליטרים מים יכול הגוף להכיל)- חלל הצורה התלת מימדית.

מנסרות
גוף תלת מימדי שבסיסיו הם מצולעים חופפים במישורים שונים. או בעברית: מצולע שמתחו אותו מדו מימד לתלת מימד. המנסרה תקרא ע"ש בסיסיה.
לדוגמה: בשרטוט לפניכם מנסרה משולשת (טובלרון). נפח מנסרה תמיד אפשר לחשב בכפל שטח הבסיס בגובה. שטח מעטפת מנסרה תמיד אפשר לחשב בכפל היקף הבסיס בגובה.

הגופים הנפוצים

קוביה מוכרת לכולנו ממשחקי הלוח, זהו גוף שכל פאותיו הינם ריבועים חופפים. הוא שווה בכל שלושת מימדיו: אורך, רוחב וגובה.

נפח קוביה: מכיוון שכל מימדיו שווים, חישוב הנפח יבוצע באמצעות הנוסחא: נפח קוביה = מקצוע³. לדוגמה: נפחה של קוביה שאורך מקצועה 2 ס"מ יהיה ⇐ 2³ = 8 סמ"ק.
תרגול
1. מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא 3 ס"מ? .....
2. מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא 4 ס״מ? .....
3. מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא 5 ס״מ? .....
4. מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא 1 ס"מ? .....
שטח פנים של קוביה:
לקוביה 6 פאות (כפי שכולנו כבר מכירים מקוביית המשחק), וכל פאה היא ריבוע. לכן חישוב שטח הפנים יהיה 6 פעמים שטח הפאה/הריבוע (שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע). או בעברית: שטח פני קוביה = מקצוע² • 6
לדוגמה: שטח פנים של קוביה שאורך מקצועה 2 ס"מ הוא: ⇐ $24=2\cdot 2\cdot 6=6\cdot 2^2=24$ סמ"ר
5. מהו שטח פניה של קוביה שאורך מקצועה הוא 3 ס״מ? .....
6. מהו שטח פניה של קוביה שאורך מקצועה הוא 1 ס"מ? .....
שטח מעטפת הקוביה: לקוביה יש 4 פאות צדדיות (לא כולל הבסיסים וזו הרי מעטפת) וכל פאה היא ריבוע, לכן חישוב שטח המעטפת יהיה 4 פעמים שטח הפאה/הריבוע (שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע):
או בעברית: שטח מעטפת קוביה = מקצוע² • 4
לדוגמה: שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה הוא 2 הוא $=2\cdot 4=2\cdot 4=2\cdot 4=2\cdot 4=2\cdot 4$
7. מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה 3 ס״מ? .....
$\_\_\_\_$
8. מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה 4 ס"מ? .....
$\_\_\_\_$
9. מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה 5 ס״מ? .....
10. מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה 1 ס"מ? .....

הגליל: המעטפת היא מלבן שנפרש

אם תסתכלו על פחית קוקה קולה, תגלו ששטח פניה מורכב משני הבסיסים המעגליים ומהמעטפת (החלק האדום בפחית קוקה קולה). לכן חישוב שטח הפנים יהיה סכום שטח שני המעגלים ושטח המעטפת, שכפי שכבר הסברנו בתחילת המבוא לתלת מימד יחושב בכפל היקף מעגל הבסיס בגובה.

או בעברית: שטח פני הגליל = שטח מעגל • 2 + היקף המעגל • גובה. הנוסחא היא:

אם כך הנוסחא הסופית בעברית היא: שטח פני הגליל = (גובה + רדיוס) היקף המעגל
לדוגמה: שטח פני הגליל בשרטוט הוא:

$28\pi =4\pi \cdot 7\Leftarrow 2\pi \cdot 2(2+5)\Leftarrow 2\pi R(R+h)$ סמ"ר
תרגול

9. מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?

מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?
10.

מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?

פירמידה וחרוט: אותו נפח, חלקי 3

פירמידה היא גוף תלת מימדי, כאשר מכל קודקודי הבסיס נמשכים מקצועות לקודקוד ("שפיץ") נוסף במישור אחר. או בעברית: אתם מכירים כבר פירמידות, הדבר היחיד שחשוב להוסיף, הוא ששמה של הפירמידה נקבע ע"פ הבסיס. לדוגמה:

חרוט הוא פירמידה עגולה, הבסיס עגול והקדקוד ״שפיץ" נמצא בדיוק מעל נקודת המרכז

או בעברית: כובע של ליצן, החרוטים הכתומים בכביש וכו’. לדוגמה:
נפח צורה עם שפיץ:
הכלל לגבי גופים תלת ממדיים עם ״שפיץ״ הוא שחישוב הנפח יהיה של הצורה המקורית ללא
ה״שפיץ״ (חרוט היה גליל, פירמידה מרובעת הייתה תיבה וכו’) חלקי 3.

או בעברית: נפח צורה עם שפיץ $=$ שטח בסיס • גובה חלקי 3
לדוגמה:

נפחה של הפירמידה בשרטוט הוא:
$80=10\cdot 2\cdot 4=\frac{10\cdot \varnothing \cdot 4}{\not\supset }=\frac{10\cdot 6\cdot 4}{3}$ סמ"ק

נפחו של החרוט בשרטוט הוא:
$8\pi =4\pi \cdot 2\Leftarrow \frac{4\pi \cdot \varnothing }{\not\supset }\Leftarrow \frac{\pi \cdot 2^2\cdot 6}{3}\Leftarrow \frac{\pi R^{2}h}{3}$

מהו נפחה של הפירמידה בשרטוט (בסמ״ק)?

מהו נפחו של החרוט בשרטוט (בסמ״ק)?
2.

מהו נפחה של הפירמידה בשרטוט (בסמ״ק)?

מהו נפחו של החרוט בשרטוט (בסמ"ק)?
4.

פירמידה היא צורה עם ״שפיץ״. נחשב את נפחה כשטח בסיס כפול גובה חלקי 3.

נפחו של חרוט, צורה עם ״שפיץ", שווה לשטח בסיס כפול גובה חלקי 3.

פירמידה היא צורה עם ״שפיץ". נחשב את נפחה כשטח בסיס כפול גובה חלקי 3.

את נפח החרוט, צורה עם ״שפיץ", נחשב כשטח הבסיס כפול הגובה חלקי 3.