מושגים בפסיכומטרי: ממוצע

ממוצע: סכום, מספר איברים וממוצע

הממוצע (הממוצע החשבוני) של כמה מספרים הוא הערך שכל אחד מהם היה מקבל אילו היו מחלקים את הסכום שלהם שווה בשווה. כדי לחשב אותו מחברים את כל המספרים ומחלקים את הסכום במספר האיברים. למשל, הממוצע של 4, 7 ו-10 הוא $\frac{4+7+10}{3}=\frac{21}{3}=7$.

סכום, מספר איברים וממוצע

כמעט כל שאלה על ממוצע עוסקת בשלושה גדלים: הסכום, מספר האיברים והממוצע. הקשר ביניהם הוא נוסחה אחת שאפשר לכתוב בשלוש צורות:

• ממוצע = סכום ÷ מספר האיברים
• סכום = ממוצע × מספר האיברים
• מספר האיברים = סכום ÷ ממוצע

לכן כשנתונים שניים מהגדלים, מוצאים את השלישי. הצורה השנייה חשובה במיוחד: בחלק גדול מהשאלות הצעד הראשון הוא להפוך את הממוצע הנתון לסכום, כי עם סכומים אפשר לחבר ולחסר, ועם ממוצעים לא.

דוגמה א׳: קבוצה של 5 אנשים תרמה יחד 30 שקלים. כמה תרם כל אחד בממוצע?

נתונים הסכום (30 שקלים) ומספר האיברים (5 תורמים), ומחפשים את הממוצע: $30÷5=6$. כל תורם תרם בממוצע 6 שקלים.

דוגמה ב׳: סכום של 200 שקלים חולק בין כמה ילדים, וכל ילד קיבל 50 שקלים. כמה ילדים היו? נתונים הסכום (200) והממוצע (50), ומחפשים את מספר האיברים: $200÷50=4$. היו 4 ילדים.

דוגמה ג׳: בבניין 6 דירות, וכל דירה שילמה לוועד הבית בממוצע 30 שקלים. כמה כסף נאסף בסך הכול?

נתונים הממוצע (30) ומספר האיברים (6), ומחפשים את הסכום: $6\cdot 30=180$. נאספו 180 שקלים.

מה הממוצע אומר ואיפה הוא נמצא

הממוצע אינו מספר על איבר מסוים

הממוצע מתאר את הקבוצה כולה. הוא לא אומר כמה יש לאיבר מסוים בקבוצה.

דוגמה: לשלושה חברים יש יחד 300 שקלים, ולכן יש להם בממוצע 100 שקלים לאחד. אין מכאן שלכל אחד מהם יש 100 שקלים: ייתכן שלאחד מהם אין אף שקל, ושכמעט כל הכסף שייך לאחר. מה שכן ידוע בוודאות הוא הסכום — 300 שקלים.

הממוצע נמצא בין הקטן ביותר לגדול ביותר

הממוצע תמיד גדול מהאיבר הקטן ביותר וקטן מהאיבר הגדול ביותר — אלא אם כל האיברים שווים זה לזה.

דוגמה: בקבוצת עובדים השכר הנמוך ביותר לשעה הוא 40 שקלים, והגבוה ביותר הוא 90 שקלים. השכר הממוצע לשעה גדול מ-40 וקטן מ-90. תשובה של 35 או של 95 נפסלת מיד, וגם 40 ו-90 עצמם נפסלים, כי ברור שלא כל העובדים מרוויחים אותו שכר.

הממוצע שווה לאיבר הקטן ביותר או לאיבר הגדול ביותר רק כשכל האיברים שווים. אילו איבר אחד היה קטן מהממוצע, היה חייב להיות איבר אחר גדול ממנו כדי לאזן.

דוגמה: הציון הממוצע בבחינה היה 80, וגם הציון הגבוה ביותר היה 80. מכאן שכל הנבחנים קיבלו 80 בדיוק.

כשהממוצע נמצא בדיוק באמצע

ממוצע של שני מספרים

הממוצע של שני מספרים נמצא בדיוק באמצע ביניהם: הממוצע של 4 ו-6 הוא 5, והממוצע של 10 ו-20 הוא 15. לכן שני המספרים רחוקים מהממוצע באותו מרחק — מחצית ההפרש ביניהם.

דוגמה: דנה גבוהה מיואב ב-20 ס״מ, והגובה הממוצע של שניהם הוא 1.60 מטר. מה גובהו של יואב? ההפרש הוא 20 ס״מ, ולכן דנה גבוהה מהממוצע ב-10 ס״מ ויואב נמוך ממנו ב-10 ס״מ. גובהו של יואב 1.50 מטר, וגובהה של דנה 1.70 מטר — בלי משוואה.

ממוצע של מספרים עוקבים ושל סדרה חשבונית

כשהמספרים עוקבים, או באופן כללי כשההפרש בין כל שני מספרים סמוכים קבוע (סדרה חשבונית), הממוצע הוא המספר האמצעי. כשמספר האיברים זוגי ואין מספר אמצעי אחד, הממוצע הוא הממוצע של שני המספרים האמצעיים. הסיבה: המספרים מסתדרים בזוגות סביב האמצע — הראשון עם האחרון, השני עם זה שלפני האחרון — ולכל הזוגות אותו ממוצע.

דוגמה: הממוצע של 3, 4 ו-5 הוא 4, המספר האמצעי. הממוצע של 1, 2, 3 ו-4 הוא $2\frac{1}{2}$, באמצע בין 2 ל-3. הממוצע של 10, 14 ו-18 (הפרש קבוע של 4) הוא 14 — בלי לחבר דבר.

מכאן גם קיצור דרך לחישוב סכום: הסכום של סדרה כזו שווה למספר האיברים כפול הממוצע, כלומר כפול האיבר האמצעי. למשל $11+12+13+14+15=5\cdot 13=65$.

הוספה והורדה של איבר

כשמוסיפים איבר לקבוצה או מוציאים ממנה איבר, הממוצע משתנה — אלא אם האיבר שווה בדיוק לממוצע. הכיוון נקבע לפי המקום של האיבר ביחס לממוצע:

חישוב הממוצע החדש

הדרך הבטוחה עוברת דרך הסכום: מחשבים את הסכום הישן (ממוצע × מספר האיברים), מוסיפים או מחסירים את האיבר, ומחלקים במספר האיברים החדש. דרך מהירה יותר: מחשבים בכמה האיבר רחוק מהממוצע הישן, ומחלקים את ההפרש הזה בין כל האיברים שנמצאים בקבוצה אחרי השינוי.

דוגמה: בקבוצה 4 עובדים, והשכר היומי הממוצע הוא 200 שקלים. מצטרף עובד שמרוויח 250 שקלים ביום. מה הממוצע החדש? בדרך הסכום: $4\cdot 200+250=1050$, ו-$1050÷5=210$. בדרך המהירה: העובד החדש מרוויח 50 שקלים יותר מהממוצע, וההפרש מתחלק בין 5 העובדים — $50÷5=10$, ולכן הממוצע עולה מ-200 ל-210.

דוגמה נוספת: באותה קבוצה של 4 עובדים עם ממוצע של 200 שקלים, עובד שמרוויח 230 שקלים עוזב. הסכום היה 800 ונשארו $800-230=570$ שקלים, שמתחלקים בין 3 עובדים: $570÷3=190$. העובד שעזב היה מעל הממוצע, ולכן הממוצע ירד.

סטיות מהממוצע מתאזנות

לכל איבר יש סטייה מהממוצע: בכמה הוא גדול ממנו או קטן ממנו. סכום הסטיות מעל הממוצע שווה תמיד לסכום הסטיות מתחתיו. הכלל הזה מאפשר למצוא איבר חסר בלי לחשב את הסכום כולו.

דוגמה: הגיל הממוצע של שלושה אנשים הוא 80. שניים מהם בני 70. בן כמה השלישי?

כל אחד מבני ה-70 נמצא 10 שנים מתחת לממוצע, ויחד הם 20 שנים מתחתיו. כדי לאזן, השלישי חייב להיות 20 שנים מעל הממוצע, כלומר בן 100. בדיקה בדרך הסכום: $3\cdot 80=240$, ו-$240-70-70=100$.

ממוצע משוקלל של שתי קבוצות

כשמאחדים שתי קבוצות, הממוצע המשותף נמצא בין שני הממוצעים שלהן. אם הקבוצות שוות בגודלן, הוא בדיוק באמצע. אם לא, הוא קרוב יותר לממוצע של הקבוצה הגדולה, והיחס בין גודלי הקבוצות קובע עד כמה. זהו ממוצע משוקלל: כל ממוצע נספר לפי מספר האיברים שמאחוריו.

החישוב: מחברים את הסכומים של שתי הקבוצות ומחלקים במספר האיברים הכולל. את הממוצע הפשוט של שני הממוצעים מותר לחשב רק כשהקבוצות שוות בגודלן.

דוגמה: בכיתה א׳ 10 תלמידים והציון הממוצע 70, ובכיתה ב׳ 30 תלמידים והציון הממוצע 90. הממוצע המשותף הוא $\frac{10\cdot 70+30\cdot 90}{40}=\frac{3400}{40}=85$, ולא 80. כיתה ב׳ גדולה פי 3, ולכן הממוצע קרוב אליה פי 3: הוא רחוק 15 מ-70 ורק 5 מ-90.

מהממוצע אל היחס

אפשר ללכת גם בכיוון ההפוך: כשיודעים את הממוצע המשותף, מוצאים את היחס בין גודלי הקבוצות. היחס בין הכמויות הפוך ליחס בין המרחקים מהממוצע — לקבוצה הקרובה יותר לממוצע יש יותר איברים.

דוגמה: טבעת עשויה מזהב שמחירו 100 שקלים לגרם ומנחושת שמחירה 20 שקלים לגרם. המחיר הממוצע לגרם של הטבעת תלוי ביחס בין כמות הזהב לכמות הנחושת.

אם המחיר הממוצע הוא 60 שקלים לגרם, הוא רחוק 40 משני המחירים, ולכן בטבעת כמות שווה של זהב ונחושת.

אם המחיר הממוצע הוא 80, הוא רחוק 20 מהזהב ו-60 מהנחושת. הממוצע קרוב יותר לזהב, ולכן יש יותר זהב: היחס בין כמות הזהב לכמות הנחושת הוא 60:20, כלומר 3:1. בדיקה: שלושה גרם זהב וגרם נחושת עולים 300 + 20 = 320 שקלים, ו-320 ÷ 4 = 80.

אם המחיר הממוצע הוא 30, הוא רחוק 10 מהנחושת ו-70 מהזהב. הפעם יש יותר נחושת: היחס בין כמות הנחושת לכמות הזהב הוא 70:10, כלומר 7:1. בדיקה: שבעה גרם נחושת וגרם זהב עולים 140 + 100 = 240 שקלים, ו-240 ÷ 8 = 30.