מושגים בפסיכומטרי: תרגום בעיה מילולית למשוואה

תרגום בעיה מילולית למשוואה

רבות מהשאלות המילוליות בפרק הכמותי הן בעצם משוואה שכתובה במילים. במקום לנחש או לנסות מספרים באקראי, מתרגמים את הטקסט לשפת האלגברה: כל כמות שאינה ידועה מקבלת אות, כל משפט עם נתון הופך למשוואה, ואז פותרים כמו כל משוואה אחרת.

שלושה שלבים

1. מגדירים את הנעלם. כותבים במפורש מה האות מייצגת, למשל ״$y$ = מספר השקלים של יואב״. כשכמה כמויות קשורות זו לזו, מבטאים את כולן בעזרת אות אחת. בדרך כלל כדאי לסמן באות את הכמות שכל האחרות מתוארות לפיה.
2. מתרגמים משפט אחרי משפט. כל משפט עם נתון הופך לביטוי או למשוואה. המילים ״הוא״, ״שווה״, ״יהיה״ ו״מהווה״ הן סימן השוויון, ושאר המילים מתורגמות לפי הטבלה שבהמשך.
3. פותרים ובודקים. מציבים את התוצאה בחזרה בטקסט המקורי — לא במשוואה — ובודקים שכל משפט מתקיים. בדיקה מול הטקסט תופסת גם טעות בתרגום עצמו, ולא רק טעות בחשבון.

כיוון ההשוואה

המשפט ״לאריק יש 5 שקלים יותר מאשר לבני״ אינו משוואה כפי שהוא, כי שתי הכמויות שונות. כדי לכתוב שוויון מוסיפים את ההפרש לכמות הקטנה: אם לבני יש $b$ שקלים ולאריק $a$ שקלים, המשוואה היא $a=b+5$. הטעות הנפוצה היא לכתוב $a+5=b$, כלומר להוסיף את ההפרש דווקא לכמות הגדולה.

בדיקה פשוטה מונעת את הטעות: מציבים מספר קטן. אם לבני יש 10 שקלים, לאריק צריכים להיות 15. המשוואה $a=b+5$ נותנת 15, והמשוואה ההפוכה נותנת 5 — ומיד רואים שהיא שגויה. באותו אופן, ״קטן מ-$x$ ב-4״ מתורגם ל-$x-4$.

״יותר ב-״ לעומת ״פי״

״גדול ב-3״ או ״יותר ב-3״ הוא חיבור: $x+3$. ״גדול פי 3״ הוא כפל: $3x$. ״קטן פי 3״ הוא חילוק: $\frac{x}{3}$, כלומר שליש מ-$x$. ״כפול מ-״ פירושו פי 2, ו״מחצית מ-״ פירושו חלוקה ב-2. למשל, 12 גדול מ-4 ב-8, אבל גדול ממנו פי 3. בהתאם לכך, השאלה ״בכמה $A$ גדול מ-$B$?״ מתורגמת לחיסור $A-B$, והשאלה ״פי כמה $A$ גדול מ-$B$?״ מתורגמת לחילוק $\frac{A}{B}$.

מילים שמתרגמות לפעולות חשבון

הטבלה מרכזת את המילים הנפוצות בשאלות מילוליות ואת הפעולה שכל אחת מהן מסמנת. שימו לב במיוחד לאות ״מ-״ אחרי שבר או אחוז: היא מסמנת כפל. ״שליש מ-15״ הוא $\frac{1}{3}\cdot 15=5$, ו״20% מ-40״ הוא $0.2\cdot 40=8$.

שברים, אחוזים וממוצע

״שליש מ-$x$״ הוא $\frac{x}{3}$. ״$y$ גדול ב-20% מ-$x$״ הוא $y=1.2x$, ו״$y$ קטן ב-20% מ-$x$״ הוא $y=0.8x$. ״הממוצע של שלושה מספרים הוא 10״ מתורגם ישירות לסכום: $a+b+c=30$, כי עם סכומים נוח יותר לעבוד מאשר עם ממוצעים.

מספרים עוקבים

מספרים שלמים עוקבים מסמנים באות אחת: $n$, $n+1$, $n+2$. מספרים זוגיים עוקבים (או אי-זוגיים עוקבים) מסמנים $n$, $n+2$, $n+4$. דוגמה: סכום של שלושה מספרים עוקבים הוא 48. התרגום: $n+(n+1)+(n+2)=48$, כלומר $3n+3=48$, ומכאן $n=15$. המספרים הם 15, 16 ו-17, ואכן $15+16+17=48$.

דוגמה מלאה: שלוש כמויות ונעלם אחד

דוגמה: לדנה יש פי 3 שקלים מאשר ליואב, ולרון יש 10 שקלים יותר מאשר ליואב. לשלושתם יחד יש 90 שקלים. כמה שקלים יש לדנה?

שתי הכמויות האחרות מתוארות לפי יואב, ולכן מסמנים: $y$ = מספר השקלים של יואב. אז לדנה יש $3y$ ולרון $y+10$. המשפט האחרון הוא המשוואה: $3y+y+(y+10)=90$, כלומר $5y+10=90$, ומכאן $y=16$. לדנה יש $3\cdot 16=48$ שקלים, ולרון 26.

בדיקה מול הטקסט: 48 הוא פי 3 מ-16, 26 גדול מ-16 ב-10, ו-$48+16+26=90$. כל שלושת המשפטים מתקיימים.

דוגמה מלאה: אחוזים

דוגמה: מחירה של חולצה גבוה ב-20% ממחיר מכנסיים. שתי חולצות וזוג מכנסיים עולים יחד 340 שקלים. מה מחיר המכנסיים?

המחיר של החולצה מתואר לפי המכנסיים, ולכן מסמנים: $p$ = מחיר המכנסיים. מחיר החולצה הוא $1.2p$. המשוואה: $2\cdot 1.2p+p=340$, כלומר $3.4p=340$, ומכאן $p=100$. המכנסיים עולים 100 שקלים והחולצה 120.

בדיקה: 120 גבוה מ-100 ב-20%, ו-$2\cdot 120+100=340$.

בדיקה בהצבה

כשהתשובות האפשריות הן מספרים, אפשר גם ללכת בכיוון ההפוך: מציבים כל תשובה בטקסט ובודקים אם כל הנתונים מתקיימים. זו דרך טובה לבדוק תשובה שהתקבלה מהמשוואה, וגם דרך לפתור כשהתרגום מסובך. נוח להתחיל מאחת התשובות האמצעיות בגודלן: אם היא גדולה מדי או קטנה מדי, ידוע גם לאיזה כיוון להמשיך.