מושגים בפסיכומטרי: הספק ועבודה משותפת

הספק: עבודה, זמן וקצב

הספק הוא קצב העבודה: כמה עבודה נעשית ביחידת זמן אחת. כל שאלת הספק עוסקת בשלושה גדלים:

• עבודה — מה שמבצעים: בונים קיר, ממלאים בריכה, אורזים חבילות, מדפיסים דפים.
• זמן — כמה זמן נמשכת העבודה: שניות, דקות, שעות או ימים.
• הספק — העבודה חלקי הזמן, כלומר כמה עבודה נעשית בכל יחידת זמן.

הספק כשבר

נוח לכתוב את ההספק כשבר: העבודה במונה והזמן במכנה. דוגמה: מדפסת מדפיסה 3 דפים ב-4 שניות. ההספק שלה הוא $\frac{3}{4}$ דף בשנייה. מכיוון שההספק הוא שבר, אפשר להרחיב ולצמצם אותו בלי לשנות את הקצב: אותה מדפסת מדפיסה 6 דפים ב-8 שניות, 30 דפים ב-40 שניות, או דף וחצי ב-2 שניות.

שלוש צורות לאותה נוסחה

הקשר בין שלושת הגדלים הוא נוסחה אחת שאפשר לכתוב בשלוש צורות, בדיוק כמו הקשר בין דרך, מהירות וזמן:

• הספק = עבודה ÷ זמן
• עבודה = הספק × זמן
• זמן = עבודה ÷ הספק

ההספק ממלא כאן את התפקיד של המהירות, והעבודה את התפקיד של הדרך. כשנתונים שניים מהגדלים, מוצאים את השלישי.

דוגמה: פועל מרצף 12 מטרים רבועים ב-3 שעות. כמה זמן יידרש לו כדי לרצף 20 מטרים רבועים? ההספק שלו הוא $\frac{12}{3}=4$ מטרים רבועים בשעה. הזמן הוא העבודה חלקי ההספק: $20÷4=5$ שעות.

משימה שלמה כיחידה אחת

בשאלות רבות העבודה היא משימה אחת שלמה: למלא בריכה, לצבוע בית, לסיים פרויקט. במקרה כזה מסמנים את המשימה כולה ב-1. מי שמסיים את המשימה ב-$a$ שעות, ההספק שלו הוא $\frac{1}{a}$ משימה בשעה. למשל, ברז שממלא בריכה ב-5 שעות ממלא בכל שעה $\frac{1}{5}$ מהבריכה.

עבודה משותפת: חיבור וחיסור הספקים

כשכמה עובדים — או מכונות, או ברזים — פועלים יחד על אותה עבודה, ההספקים שלהם מתחברים: ההספק המשותף הוא סכום ההספקים. מחברים הספקים, ולא זמנים.

דוגמה: פועל אחד בונה קיר ב-2 ימים, ופועל אחר בונה קיר זהה ב-3 ימים. כמה ימים יידרשו לשניהם יחד כדי לבנות 10 קירות?

ההספק של הראשון הוא $\frac{1}{2}$ קיר ביום, וההספק של השני $\frac{1}{3}$ קיר ביום. יחד: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ קיר ביום, כלומר 5 קירות ב-6 ימים. מרחיבים את השבר פי 2 ומקבלים 10 קירות ב-12 ימים.

משימה אחת משותפת

כשהשאלה היא כמה זמן יידרש כדי לסיים משימה אחת יחד, מסמנים את המשימה ב-1. אם עובד אחד מסיים אותה ב-$a$ שעות, עובד שני ב-$b$ שעות, ויחד הם מסיימים ב-$t$ שעות, אז:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{t}$

דוגמה: ברז אחד ממלא מיכל ב-3 שעות, וברז אחר ממלא אותו ב-6 שעות. יחד הם ממלאים $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ מיכל בשעה, ולכן המיכל יתמלא בשעתיים.

בדיקה מהירה: הזמן המשותף תמיד קצר מהזמן של המהיר מבין השניים. כאן 2 שעות, פחות מ-3 השעות שהברז המהיר צריך לבדו. לשני עובדים יש גם קיצור דרך: הזמן המשותף שווה למכפלת הזמנים חלקי סכומם, $\frac{3\cdot 6}{3+6}=\frac{18}{9}=2$.

מי שמרוקן או מפרק — מחסרים

כשאחד המשתתפים פועל בכיוון ההפוך — מרוקן, מפרק או צורך — ההספק שלו נחסר מההספק המשותף. אפשר לחשוב עליו כעל הספק שלילי.

דוגמה: ברז ממלא בריכה ב-2 שעות, ופתח ניקוז מרוקן בריכה מלאה ב-3 שעות. הבריכה ריקה, ופותחים את שניהם יחד. אחרי כמה זמן תתמלא הבריכה?

הברז ממלא $\frac{1}{2}$ בריכה בשעה, והניקוז מרוקן $\frac{1}{3}$ בריכה בשעה. ההספק המשותף: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$ בריכה בשעה. במילים אחרות, בכל 6 שעות הברז ממלא 3 בריכות והניקוז מרוקן 2, ונשארת בריכה מלאה אחת. הבריכה תתמלא אחרי 6 שעות.

מציאת ההספק של אחד העובדים

אם ידועים ההספק המשותף וההספק של אחד העובדים, מחסרים ומקבלים את ההספק של השני.

דוגמה: שני עובדים מסיימים משימה יחד ב-2 חודשים. הראשון לבדו מסיים אותה ב-3 חודשים. בכמה זמן יסיים אותה השני לבדו? $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$, ולכן השני מסיים את המשימה לבדו ב-6 חודשים. בדיקה: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$.

עבודה בשלבים: אחד העובדים עוזב

כשעובדים יחד רק חלק מהזמן, מחשבים איזה חלק מהעבודה כבר נעשה, ואת מה שנשאר מחלקים בהספק של מי שממשיך.

דוגמה: עובד א׳ מסיים משימה לבדו ב-8 שעות, ועובד ב׳ ב-24 שעות. הם עובדים יחד 3 שעות, ואז עובד ב׳ עוזב. כמה זמן יידרש לעובד א׳ כדי לסיים לבדו?

ההספק המשותף הוא $\frac{1}{8}+\frac{1}{24}=\frac{3}{24}+\frac{1}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$ משימה בשעה. ב-3 שעות הם מסיימים $3\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ מהמשימה. נשאר חצי משימה, ועובד א׳ מסיים אותו בקצב של $\frac{1}{8}$ משימה בשעה: $\frac{1}{2}÷\frac{1}{8}=4$ שעות. בסך הכול העבודה נמשכה 7 שעות.

קבוצות של עובדים זהים

כשכל העובדים עובדים באותו קצב, ההספק של הקבוצה הוא ההספק של עובד אחד כפול מספר העובדים. לכן העבודה שווה למספר העובדים, כפול הזמן, כפול ההספק של עובד אחד.

שעות עבודה

דרך נוחה לחשוב על כך היא לספור שעות עבודה: מספר העובדים כפול מספר השעות שכל אחד מהם עבד. דוגמה: 5 צבעים צובעים קיר ב-6 שעות. כל אחד מהם עבד 6 שעות, ולכן הקיר דרש $5\cdot 6=30$ שעות עבודה. צבע אחד לבדו היה צריך 30 שעות, שני צבעים — 15 שעות כל אחד, ושלושה צבעים — 10 שעות כל אחד.

כשהעבודה קבועה, מספר העובדים והזמן הפוכים זה לזה: פי 2 עובדים — חצי מהזמן, פי 3 עובדים — שליש מהזמן. המכפלה שלהם, כלומר מספר שעות העבודה, אינה משתנה.

השוואה בין שני מצבים

כשהשאלה מתארת מצב אחד ושואלת על מצב אחר, עם מספר עובדים אחר וזמן אחר, מחשבים את ההספק של עובד אחד. ההספק הזה זהה בשני המצבים, ולכן אפשר להשוות.

דוגמה: 3 עובדים אורזים 36 חבילות ב-4 שעות. כמה חבילות יארזו 5 עובדים ב-6 שעות?

ההספק של עובד אחד הוא העבודה חלקי מכפלת מספר העובדים בזמן: $\frac{36}{3\cdot 4}=3$ חבילות בשעה. במצב השני מסמנים את מספר החבילות ב-$x$ וכותבים את אותו הספק:

אגף ימין שווה 3, ולכן $\frac{x}{30}=3$ ו-$x=90$. חמישה עובדים יארזו 90 חבילות ב-6 שעות.

דוגמה נוספת: 6 פועלים מסיימים עבודה ב-10 ימים. כמה פועלים יסיימו את אותה עבודה ב-4 ימים? העבודה היא $6\cdot 10=60$ ימי עבודה, ולכן דרושים $60÷4=15$ פועלים.