מושגים בפסיכומטרי: שברים

שבר: מונה, מכנה והרוורס

"שונא שברים יחזר, יחזר גם יחזר!" (ע. ויטס)

מי רוצה להתעסק בכלל עם שברים? אנחנו נלמד בהמשך כמה דרכים לתחמן שאלות כך שלא נצטרך לעבוד עם שברים.

מי אני? מה אני?!

שבר הוא מעולה החיים: יש לנו דירות לחלק לילדים שלנו (שיחיו). אם נחלק דירה אחת לשני ילדים, כל ילד יקבל חצי דירה.

המונה: סופר כמה דירות יש (הוא מונה, הוא סופר – כמו במניין: המונה סופר את הכסף על הנסיעות).

המכנה: סופר כמה ילדים צריך לחלק (נקרא מכנה כי הוא מחנן את הכינוי – את השם – לשבר. אם חילקנו ל-4, או הכינוי שלו יהיה "רבעים". אם חילקנו ב-3 – "שלישים", אם חילקנו ב-7 – "שביעיות"...).

* שימו לב: עדיף לעבוד עם שבר מצומצם.

אם יש לנו 8 דירות לחלק ל-16 ילדים, אפשר לצמצם ל-1 חלקי 2 (כי כאילו כל דירה התחלקה ל-2 ילדים, או כל ילד קיבל חצי דירה).

ילדים זה שמחה (אבל גם דירות)

ככל שיש לנו יותר דירות לחלק (הלמעלה, המונה) ופחות ילדים לחלק להם (הלמטה, המכנה), כך כל ילד יקבל יותר. ככל שיש לנו פחות דירות לחלק להם, כך כל ילד יקבל פחות.

לכל ילד יש דירה

אם מספר הדירות ומספר הילדים שווה, אז כל ילד יקבל דירה אחת, כמו $1=\frac{8}{8}$ או כמו $1=\frac{4}{4}$

יותר ילדים מדירות

אם יש יותר ילדים ממספר הדירות, אז הם יצטרכו לחלוק בינם דירה אחת.

3 דירות ל-4 ילדים = כל ילד יקבל שלושת-רבע דירה.

יותר דירות מילדים

אם יש יותר דירות ממספר הילדים, אז כל ילד יקבל יותר מדירה אחת.

3 דירות ל-2 ילדים = 2 דירות לכל ילד = כל ילד יקבל דירה שלמה, ויש עוד דירה אחת שהם יחלקו ביניהם. יעני, לכל ילד תהיה דירה וחצי.

איך בודקים כמה דירות יש לילד?

1. נבדוק כמה דירות אפשר לחלק לחלקן בשלמותן.
2. את מה שנשאר, נחלק למספר הילדים

אם יש 4 דירות ושלושה ילדים – $\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3}=\frac{3+1}{3}=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}$ אפשר לחלק דירה אחת שלמה לכל ילד, ואז נשארה דירה אחת לחלק בין כולם.

הדירה שנשארה (דירה אחת) חלקי שלושה ילדים = $\frac{1}{3}$

או כל ילד יקבל דירה = $\frac{1}{3}+$ דירה $=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}$

הרוורס

אם יש לנו מספר שלם של דירות ושבר דירה ליד, הרבה פעמים נוח להחזיר את זה למצב המקורי. למצוא כמה דירות היו, ולכמה ילדים חילקנו אותם.

איך נמצא את הילדים?

1. נראה במה חילקו (הלמטה של השבר), אם אנחנו יודעים כמה ילדים יש, נוכל למצוא את כל הדירות
2. כל ילד קיבל מספר שלם של דירות (נכפיל את המספר השלם במספר הילדים)
3. ועוד, יש דירות שהתחלקו בין כולם (הלמעלה של השבר, המונה). נוסיף אותן לכל הדירות שיש

כך נדע כמה דירות היו בסה"כ, ולכמה ילדים חילקנו אותן.

איך יודעים כמה דירות היו וכמה דירות לפי השבר: $1\frac{1}{3}$

יש שלושה ילדים (כי השבר הוא שליש, חלקי 3).

אנחנו יודעים שכל אחד מהם קיבל דירה שלמה (כי השלם הוא 1), אז סה"כ חילקנו כבר 3 דירות.

ובנוסף, יש שבר דירה שהתחלקה בינים (השבר- לקחנו 1 וחילקנו ל-3 ילדים).

אז חילקנו סה"כ 4 דירות (3 דירות ועוד דירה אחת שהתחלקה בין כולם).

אז ברוורס, השבר היה : $\frac{4}{3}$ כי חילקנו 4 דירות לשלושה ילדים

נסו לחלק 4 דירות ל-3 ילדים ותגיעו לאותו השבר שמובע בתחילת הדוגמה.

איך יודעים כמה ילדים היו וכמה דירות לפי השבר: $2\frac{3}{5}$

יש חמישה ילדים (כי השבר הוא חמישית, חלקי 5).

אנחנו יודעים שכל אחד מהם קיבל 2 דירות שלמות (כי השלם הוא 2), אז סה"כ חילקנו כבר 10 דירות.

ובנוסף, יש שבר דירה שהתחלקה בינים (השבר- לקחנו 3 וחילקנו ל-5 ילדים).

אז חילקנו סה"כ 13 דירות (10 דירות ועוד 3 דירות שהתחלקו בין כולם).

אז ברוורס, השבר היה : $\frac{13}{5}$ כי חילקנו 13 דירות לחמישה ילדים

נסו לחלק 13 דירות ל-5 ילדים ותגיעו לאותו השבר שמובע בתחילת הדוגמה.

הרחבת וצמצום שברים

אם יש דירה אחת לשני ילדים זה כמו :

• 5 דירות ל-10 ילדים
• 10 דירות ל-20 ילדים
• 3 דירות ל-6 ילדים
• 100 דירות ל-200 ילדים

בכל מקרה, כל שני ילדים צריכים להתחלק בדירה אחת (כל ילד יקבל חצי דירה)

נצמצם בשלבים (קודם אפסים, אחר כך לפי הנוחות)-

שברים במקומות מוזרים

אנחנו נתחמן את המבחן ונשתמש בדברים מהחיים האמיתיים כדי לפתור את השברים מבלי להסתבך בחישובים מיותרים :

פיצות

על השבר $\frac{3}{8}$ אפשר להסתכל בשתי דרכים :

• יש 3 פיצות, וחילקנו אותן ל-8 ילדים (כמו הדירות)
• יש פיצה, אותה חילקנו ל-8 חלקים, וילד לקח 3 חלקים (3 שמיניות מתוך פיצה)

שעון

סיבוב שלם של שעון זה 60 דקות.

אפשר לחלק אותו בכמה דרכים נפוצות:

• חצי שעה (30 דקות מתוך 60)
• רבע שעה (15 דקות מתוך 60)
• שלושת-רבע שעה (45 דקות מתוך 60)
• 5 דקות (60 חלקי 12, כי 5 נכנס ב-60: 12 פעמים)

גאו

נחזור בגאומטריה בגמרל אבל נכיר כמה דברים מעכשיו :

יוונים קבעו שסיבוב שלם הוא 360, מאו אנחנו תקועים עם זה.

לכן:

• חצי סיבוב הוא 180 מעלות (360 חלקי 2)
• רבע סיבוב הוא 90 מעלות (360 חלקי 4)
• שליש סיבוב הוא 120 מעלות (360 חלקי 3)

בהמשך, נלמד איך לזכור את כל המספרים החשובים שבטבלה, אין צורך לשנן!

לסיכום, שברים-

נחלק דירות לילדים.

המונה : כמה דירות.

המכנה : לכמה ילדים מחלקים.

עקרונות

• דירות זה שמחה : ככל שיש יותר דירות, כל ילד יקבל יותר.
• ילדים זה שמחה : ככל שיש יותר ילדים, כל ילד יקבל פחות.
• ילדים > דירות : לכל ילד יהיה פחות מדירה.
• דירות > ילדים : לכל ילד יהיה יותר מדירה אחת.

איך בודקים כמה דירות לכל ילד ?

1. נבדוק כמה דירות אפשר לחלק בשלמותן
2. את מה שנשאר, נחלק למספר הילדים

רוורס

1. נראה במה חילקו (הלמטה של השבר), אם אנחנו יודעים כמה ילדים יש, נוכל למצוא את כל הדירות
2. כל ילד קיבל מספר שלם של דירות (נכפיל את המספר השלם במספר הילדים)
3. ועוד, יש דירות שהתחלקו בין כולם (הלמעלה של השבר, המונה). נוסיף אותן לכל הדירות שיש

הרחבה וצמצום שברים

שברים אפשר (וכדאי!) לצמצם. דירה אחת לשני ילדים זה כמו 100 דירות ל-200 ילדים. ננסה תמיד לעבוד עם השבר המצומצם ביותר!

שברים במקומות מוזרים

כשנתון שבר, נעזר בדברים מהחיים האמיתיים כדי לפתור אותו :

• פיצות - $\frac{3}{8}$ זה 3 פיצות לחלק ל-8 ילדים או : פיצה אחת שחילקו אותה ל-8 ולקחו 3 חתיכות.
• שעון – חצי שעה זה 30 חלקי 60, רבע שעה זה 15 חלקי 60. שברים רבים במבחן הם שעות מוכרות!
• גאומטריה – חצי סיבוב זה 180 חלקי 360, רבע סיבוב זה 90 חלקי 360.

כפל שברים

"ברnגב קר, בדירה יקר, ובפנים אש, חצי מחצי זה יחה :" (סאדייל, חצי חצי)

קונים פיצה — לקחתם ממנה חצי — ואז אכלתם חצי מהחצי - יעני, אכלתם רבע פיצה.

שבר מושבר (חתיכה מחתיכה)

• נצמצם : משהו מהלמעלה עם משהו מהלמטה
• נכפיל : למעלה עם למעלה, למטה עם למטה

קודם נצמצם :

ואז נכפיל

שבר ממספר שלם

משתמשים בחבילות:

• נבדוק כמה חבילות שלמות (השלם כפול השלם)
• נבדוק כמה יש בחלק של חבילה (השלם כפול השבר)

קודם כל נכפיל שלם בשלם, $8\cdot 2=8+8=10+6=16$

לאחר מכן נכפיל שלם בשבר, $8\cdot \frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4$

יחד : $8\cdot 2\frac{1}{2}=16+4=20$

כפל שברים מעורבים (מספרים שלמים עם שבר לידם)

הרבה פעמים נוח יותר להשתמש ברוורס (כמה דירות, כמה ילדים) כדי לבצע כפל שברים.

במקום לחשב $1\frac{1}{3}$ כפול $\frac{3}{8}$, נבדוק כמה דירות וכמה ילדים היו:

יש שלושה ילדים (כי השבר הוא שליש, חלקי 3).

אנחנו יודעים שכל אחד מהם קיבל דירה אחת שלמה (כי השלם הוא 1), אז סה"כ חילקנו כבר 3 דירות. ובנוסף, יש עוד דירה אחת שהתחלקה ביניהם (השבר- לקחנו 1 וחילקנו ל-3 ילדים).

אז חילקנו סה"כ 4 דירות.

אז ברוורס, השבר היה: $\frac{4}{3}$ כי חילקנו 4 דירות לשלושה ילדים.

עכשיו נוכל לכפול ביניהם בצורה נוחה יותר:

חילוק שברים

כמה זה 8 לחלק לחציי? (רמז: זה לא 4)

מי אני? מה אני?!

חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, אז כשמחלקים שברים:

1. נהפוך את השבר
2. נצמצם
3. נכפול

קודם נהפוך את השבר: $3\cdot \frac{2}{1}=?$

2 חלקי 1, זה 2 ולכן: $3\cdot \frac{2}{1}=3\cdot 2=6$

מספר קווי שבר

מי מתבאים גדול יותר?

נחשב מכל השבר הקטן ביותר אל קו השבר הגדול ביותר.

שבר חלקי שבר

כאשר מחלקים שברים אחד בשני, נוכל להשתמש ב"כפל בירה":

זה בעצם כמו לכתוב:

כדי לקצר תהליכים נשתמש בכפל בירה: (בירה כי החצים שמזכירים לנו מי כפול מי נראים כמו ידית של כוס)

אם אין בירה (שותים וודקה)

לעיתים, לא מדובר בשבר חלקי שבר, אלא אחד המספרים הוא שלם. במקרה כזה, נכתוב את השלם בתור שבר (המספר חלקי 1). לאחר מכן, נוכל להשתמש ב"כפל בירה".

שלם חלקי שבר:

שבר חלקי שלם:

חיבור וחיסור שברים

כשאנחנו מחברים מספרים, אנחנו בעצם מחברים דברים דומים. 3+4 זה כמו 3 שקלים ועוד 4 שקלים, יחד זה 7 שקלים. לא היינו יכולים לחבר ישירות 3 שקלים ועוד 4 דולרים. כדי לחבר שקלים ודולרים, אנחנו צריכים להמיר את הדולרים לשקלים או להפך (או את שניהם לפזו).

כך גם בשברים, כדי לחבר שברים - אנחנו צריכים שהם יהיו מאותו הכינוי, אותו המכנה.

חיבור שברים עם מכנה זהה

אם המכנים זהים, רק המונים משתנים.

חיבור וחיסור עם מכנים שונים

אחרי מסיבה נותרו חתיכות פיצה שונות. אנחנו רוצים לחבר את כל החתיכות באותו המגש. אם הן היו חתיכות באותו הגודל, אין שום בעיה:

אבל אם אלו חתיכות בגודל שונה, אנחנו קודם ניצור מהם חתיכות שאפשר לחבר:

ואז בא האפי פאמילי

כדי לחבר שברים שונים, אנחנו בעצם צריכים לחלק לאותה כמות של ילדים. אם כמות הילדים שונה, אנחנו רוצים להרחיב את כולם למשפחה אחת גדולה ושמחה.

איך ניצור את משפחה אחת גדולה לכולם :

1. ניקח את המשפחה הגדולה ביותר
2. נרחיב אותה עד שנמצא משפחה שכולם מתאימים לה
3. כשמרחיבים את המכנה, מרחיבים את המונה (פי אותו המספר)

המשפחה הגדולה ביותר היא 10.

על כן, נרחיב את המשפחה של ה־5 פי 2.

כשמרחיבים, מכפילים גם את המונה פי 2.

המשפחה הגדולה ביותר היא 6. ה־3 ו־1, נרחיב.

את 3 אפשר להרחיב פי 2 כדי להיות 6, אבל את 4 אי אפשר להכפיל כדי להגיע אותו ל־6.

6 הוא לא משפחה גדולה מספיק ולכן נגדיל אותה ל־12 (נגדיל אותה רק לכפולה של 6).

משפחה של 12 מתאימה גם 6 (פי 2), גם ל־4 (פי 3) וגם ל־3 (פי 4)! זו המשפחה המתאימה!

נרחיב כל שבר לכפולה גם את המשפחה, המכנה, וגם את המונה :

חיסור שברים משלמים

כאשר מחסירים שבר משלם אחד, זה כמו לאכול כמה חתיכות של פיצה מתוך פיצה שלמה.

1. המכנה – לכמה חתיכות חתכנו את הפיצה
2. המונה – כמה חתיכות אכלנו

כשמדברים על פיצה 1 שלמה, אפשר לחתוך אותה איך שבא לנו! אם נחתוך אותה ל־10 חתיכות, זה יהיה $\frac{10}{10}$ (שזה יוצא 1).

אם נחתוך אותה ל־4 חתיכות היא תהיה $\frac{4}{4}$ (שזה עדיין... פיצה אחת).

יש לנו פיצה שלמה. חילקנו את הפיצה ל־4 חלקים. (הפיצה האחת השלמה היא בעצם $\frac{4}{4}$)

אכלנו 3 חלקים– או נשארנו חלק 1.

מה מהבאים אינו שווה ל־1?

1. $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$
2. $\frac{7}{10}+\frac{3}{10}$
3. $\frac{3}{5}+\frac{1}{5}$
4. $\frac{3}{8}+\frac{5}{8}$

חיסור שברים מכמה שלמים

אם יש לנו עכשיו כמה פיצות שלמות, ואנחנו רוצים לאכול כמה חתיכות פיצה, ניקח את החתיכות מאותה הפיצה. כל שאר הפיצות יישארו שלמות.

יש לנו 3 פיצות שלמות ואנחנו רוצים חתיכה אחת (מתוך 4).

בגלל שהחתיכה שניקח "תהרוס" את אחת הפיצות (שבר יהרוס רק פיצה אחת), יישארו לנו 2 פיצות שלמות.

*השימוש בסוגריים בשביל הנוחות בלבד, רק כדי שיהיה קל לראות במה התרכזנו בכל שלב.

יש 4 פיצות, אנחנו רוצים לאכול 2 פיצות שלמות ועוד 3 חתיכות (מתוך 5).

קודם נאכל 2 פיצות שלמות, ונשאר עם 2 פיצות שלמות.

בגלל שהחתיכות שניקח "יהרסו" את אחת הפיצות (שבר יהרוס רק פיצה אחת), תישאר לנו פיצה אחת שלמה.

*השימוש בסוגריים בשביל הנוחות בלבד, רק כדי שיהיה קל לראות במה התרכזנו בכל שלב.

חיבור וחיסור שברים – ואז בא האפי פמילי

כשיש שני שברים שונים, וצריך לחבר או לחסר אותם, אנחנו צריכים מכנה משותף.

1. ניקח את המשפחה הגדולה ביותר (המספר הכי גדול שחילקנו בו)
2. נרחיב אותה עד שנמצא משפחה שכולם מתאימים לה (שאפשר להכפיל את כל השאר שיגיעו אליה)
3. כשמרחיבים את המכנה, מרחיבים את המונה (פי אותו המספר)

המשפחה הגדולה ביותר היא 10.

על כן, נרחיב את המשפחה של ה־5 פי 2. כשמרחיבים, מכפילים גם את המונה פי 2.

שבר עשרוני

מי אני? מה אני?!

כשאנחנו מודדים את הגובה שלנו ומגלים שאנחנו 1.72 מטרים, מה זה אומר- שהגובה שלנו הוא 1 מטר + 72 סנטימטר או 172 סנטימטרים.

כשאנחנו הולכים לסופר ורוצים לקנות מסטיק ב־1.20 שקלים, העלות שלו היא בעצם 1 שקלים + 20 אגורות או 120 אגורות.

אלו שברים שכתובים בשיטה העשרונית - שברים אלו מופיעים במבחן, מי שיקבל התאמת מחשבון יוכל לתחמן את כל השאלות של שברים בעזרת שבר עשרוני. גם אם כותבים שבר רגיל במחשבון הוא מראה לנו אותו בתור שבר עשרוני (למשל : חצי יהיה 0.5).

בדרך כלל, אנחנו נתעלם מהנקודה :

אם מישהו הוא בגובה של 1.72 מטרים, אנחנו נתייחס לזה כ־172 (כמו 172 ס"מ)

אם מסטיק עולה 1.20 שקלים, אנחנו נתייחס לזה פשוט כ־120 (כמו 120 אגורות)

מתי לא מתעלמים, כאשר התשובות משחקות על המקום של הנקודה (תשובה אחת תהיה 1.75 ותשובה אחרת 17.5)

איך גורמים לשבר עשרוני להיראות כמו שבר "רגיל"

1. נספור כמה ספרות יש אחרי הנקודה
2. נחלק ב־1 עם אפסים, לפי מספר הספרות

1. יש לנו ספרה אחת אחרי הנקודה : 3
2. אנחנו צריכים לחלק את 3, ב־10 (10 זה 1 עם 0 פעם אחת, בגלל ש־3 זו ספרה אחת אחרי הנקודה)

1. יש לנו 2 ספרות אחרי הנקודה : 50
2. אנחנו צריכים לחלק את 50 ב־100 (100 זה 1 עם 0 פעמיים, בגלל שיש שתי ספרות אחרי הנקודה)

דגשים

1. אפסים בסוף לא משנים

נבדוק כל אחד בנפרד :

אמנם הוספנו אפסים בסוף, אז המספר גדל מ־5, ל־50, ל־500 – אבל גם חילקנו ביותר אפסים! (כי על כל ספרה שהוספנו אחרי הנקודה נחלק ב־0 נוסף)

2. אפסים בהתחלה כן משנים

נבדוק כל אחד בנפרד :

הוספנו גם אחוזים, כי אלו מספרים שתפגשו הרבה, אבל אל תלחצו – אנחנו נלמד אותם כמו שצריך בהמשך.

(מחלקים ב־10 כי יש ספרה אחת אחרי הנקודה, 1 מתוך 10 אנשים זה 10%)

(מחלקים ב־100 כי יש 2 ספרות אחרי הנקודה, 1 מתוך 100 אנשים זה 1%)

טבלת שברים עשרוניים חשובים

יש כמה שברים עשרוניים שכדאי להכיר. אין צורך לשנן את הטבלה! מדובר בשברים עשרוניים שתלמדו לזהות בעזרת אחוזים (אשר נלמד בהמשך)

0.2 ו־0.1 פחות חשובים, כי פשוט יותר לחשב אותם : מחלקים 2 או 1 ב־10.

את האחוזים הנפוצים יותר כמו חצי, רבע ושליש נכיר במהלך התרגול ובעזרת אחוזים ונמנע מחישוב שלהם (לא נתחיל לחלק 125 ב־1000 כדי לגלות שזה שמינית... חבל על הזמן במבחן).