מושגים בפסיכומטרי: מספרים חיוביים ושליליים

מספרים חיוביים ושליליים

כל מספר הוא חיובי, שלילי או אפס. מספר חיובי גדול מ-0, ומספר שלילי קטן מ-0. האפס עצמו אינו חיובי ואינו שלילי — אבל הוא כן מספר זוגי. כשנתון בשאלה ש-$x$ ״אינו שלילי״, האפס הוא אחת האפשרויות, וכדאי לבדוק גם אותו.

הסדר על ציר המספרים

על ציר המספרים, כל מספר גדול מכל מספר שנמצא משמאלו. לכן כל מספר חיובי גדול מכל מספר שלילי, ומבין שני מספרים שליליים הגדול הוא זה שקרוב יותר לאפס: $-5<-2$. בשברים שליליים הסדר מתהפך לעומת שברים חיוביים: $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$, אבל $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{4}$.

$-2<-1<-\frac{1}{2}<-\frac{1}{4}<0<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}<1<2$

חיבור וחיסור

חיבור של מספר שלילי הוא כמו חיסור: $7+(-3)=7-3=4$. חיסור של מספר שלילי הוא כמו חיבור, כי שני המינוסים הופכים לפלוס: $5-(-2)=5+2=7$. על ציר המספרים, הוספה של מספר חיובי מזיזה ימינה, והוספה של מספר שלילי מזיזה שמאלה.

כשמחברים שני מספרים בסימנים שונים, התוצאה מקבלת את הסימן של המספר הרחוק יותר מהאפס: $-8+3=-5$, ואילו $8+(-3)=5$. כשמחברים שני מספרים שליליים, מתקבל מספר שלילי: $-4+(-6)=-10$.

כפל וחילוק: כלל הסימנים

בכפל ובחילוק מחשבים קודם את התוצאה בלי הסימנים, ואז קובעים את הסימן: שני מספרים באותו סימן נותנים תוצאה חיובית, ושני מספרים בסימנים שונים נותנים תוצאה שלילית. כך $(-3)\cdot (-4)=12$ ו-$(-3)\cdot 4=-12$, ובחילוק $\frac{-12}{-4}=3$ ו-$\frac{12}{-4}=-3$.

כשכופלים כמה גורמים, סופרים את הגורמים השליליים: מספר זוגי של גורמים שליליים נותן תוצאה חיובית, ומספר אי-זוגי נותן תוצאה שלילית.

דוגמה: מה הסימן של $(-2)\cdot 3\cdot (-1)\cdot (-5)$? יש במכפלה שלושה גורמים שליליים, מספר אי-זוגי, ולכן התוצאה שלילית. בדיקה: $(-2)\cdot 3=-6$, אחר כך $(-6)\cdot (-1)=6$, ולבסוף $6\cdot (-5)=-30$.

חזקות של מספרים שליליים

חזקה היא כפל חוזר, ולכן אותו כלל עובד גם כאן: מספר שלילי בחזקה זוגית נותן תוצאה חיובית, ובחזקה אי-זוגית נותן תוצאה שלילית. למשל $(-2{)}^2=4$ ו-$(-2{)}^3=-8$, וכן $(-1{)}^{10}=1$ ו-$(-1{)}^7=-1$.

חשוב להקפיד על הסוגריים: $(-3{)}^2=9$, כי המינוס נמצא בתוך החזקה, אבל $-3^2=-9$, כי החזקה חלה רק על 3 והמינוס נשאר מחוץ לה.

הסימן של נעלם

אות כמו $x$ יכולה לייצג מספר חיובי, מספר שלילי או אפס, ולכן בלי נתון נוסף אי אפשר לדעת מה הסימן שלה. גם $-x$ אינו בהכרח שלילי: המינוס אומר רק ש-$-x$ הוא המספר הנגדי ל-$x$, כלומר המספר שנמצא באותו מרחק מהאפס, בצד השני שלו.

דוגמה: אם $x=5$, אז $-x=-5$ והוא שלילי. אבל אם $x=-5$, אז $-x=-(-5)=5$, ודווקא $-x$ חיובי. לכן בשאלה שלא נאמר בה מה הסימן של $x$, כדאי להציב גם מספר חיובי וגם מספר שלילי, ולפעמים גם 0 ושבר, לפני שמסיקים מסקנה.

ערך מוחלט וחזקה זוגית

יש שתי פעולות שהתוצאה שלהן לעולם אינה שלילית: העלאה בחזקה זוגית ולקיחת ערך מוחלט. התוצאה של כל אחת מהן חיובית, או אפס כשהמספר עצמו הוא אפס. העובדה הזאת חוזרת הרבה בשאלות שבהן צריך להסיק משהו על הסימן של נעלם.

חזקה זוגית

לכל מספר $x$ מתקיים $x^2\ge 0$, וכך גם $x^4$, $x^6$ וכל חזקה זוגית אחרת. אם $x$ חיובי, התוצאה חיובית; אם $x$ שלילי, המינוסים מתבטלים בזוגות והתוצאה חיובית; ואם $x=0$, התוצאה היא 0. למשל $3^2=9$ וגם $(-3{)}^2=9$, ולכן מהנתון $x^2=9$ נובעות שתי אפשרויות: $x=3$ או $x=-3$.

ערך מוחלט

הערך המוחלט של מספר, שמסמנים $|x|$, הוא המרחק שלו מהאפס על ציר המספרים. מרחק אינו יכול להיות שלילי, ולכן הערך המוחלט של מספר חיובי הוא המספר עצמו, והערך המוחלט של מספר שלילי הוא המספר בלי המינוס: $|4|=4$, $|-4|=4$ ו-$|0|=0$. הנתון $|x|=3$ אומר ש-$x$ נמצא במרחק 3 מהאפס, כלומר $x=3$ או $x=-3$.

דוגמה: כשבתוך הערך המוחלט יש ביטוי, מחשבים קודם את הביטוי, ורק אחר כך לוקחים את המרחק שלו מהאפס:

$|3+5|=|8|=8$

$|-3-5|=|-8|=8$

$|3-5|=|-2|=2$

בשורה האחרונה התוצאה היא 2 ולא $-2$: הערך המוחלט חל על התוצאה של הביטוי כולו. באופן כללי, $|a-b|$ הוא המרחק בין $a$ ל-$b$ על ציר המספרים.

השוואה בין ערכים מוחלטים

הנתון $|x|<|y|$ אומר ש-$x$ קרוב יותר לאפס מ-$y$, אבל אינו אומר דבר על הסימנים: ייתכן ששניהם חיוביים, ששניהם שליליים, או שהם בסימנים שונים. לכן אי אפשר לדעת ממנו מי מהשניים גדול יותר. כש-$x=2$ ו-$y=5$ מתקיים $x<y$, אבל כש-$x=-2$ ו-$y=-5$ מתקיים דווקא $y<x$.

מה אפשר להסיק על הסימן

כמה נתונים חוזרים מאפשרים לקבוע סימן גם בלי לדעת את המספר עצמו:

• $xy>0$ או $\frac{x}{y}>0$: שני המספרים באותו סימן.
• $xy<0$ או $\frac{x}{y}<0$: המספרים בסימנים שונים.
• $x<-x$ או $x<|x|$: המספר $x$ שלילי.
• $y^2<x$: המספר $x$ חיובי, כי הוא גדול ממספר שאינו שלילי.
• $x^2<-x$: המספר $x$ שלילי, ויותר מזה — הוא בין $-1$ ל-0.
• $x>y$: ההפרש $x-y$ חיובי וההפרש $y-x$ שלילי, בלי קשר לסימנים של $x$ ו-$y$ עצמם.
• $a+b<0$: לפחות אחד המספרים שלילי. או ששניהם שליליים, או שהשלילי רחוק יותר מהאפס.
• $|a+b|=|a-b|$: לפחות אחד המספרים שווה ל-0.

דוגמה: נתון $\frac{a}{b}>1$. מה אפשר לומר על $a$ ו-$b$? המנה חיובית, ולכן $a$ ו-$b$ באותו סימן. המנה גם גדולה מ-1, ולכן $a$ רחוק יותר מהאפס מ-$b$, כלומר $|a|>|b|$. אבל אין מכאן ש-$a>b$: כש-$a=4$ ו-$b=2$ אכן $a>b$, אבל כש-$a=-4$ ו-$b=-2$ המנה היא 2, גדולה מ-1, ובכל זאת $a<b$.