מושגים בפסיכומטרי: חילוק וסדר פעולות חשבון

חילוק וסימני התחלקות

חילוק הוא הפעולה ההפוכה לכפל: $60÷3=20$ כי $3\cdot 20=60$. אפשר לקרוא חילוק בשתי דרכים, ושתיהן נותנות אותה תוצאה. הדרך הראשונה היא חלוקה לחלקים שווים: 60 שמתחלקים ל-3 קבוצות שוות נותנים 20 בכל קבוצה. הדרך השנייה היא ספירה: כמה פעמים המחלק נכנס במספר. למשל $60÷15=4$, כי 15 נכנס ב-60 ארבע פעמים. חילוק אפשר לכתוב גם כשבר: $60÷3=\frac{60}{3}$.

חילוק עם שארית ובלי שארית

מספר מתחלק במספר אחר כשתוצאת החילוק היא מספר שלם. 60 מתחלק ב-15, אבל 50 אינו מתחלק ב-7: $7\cdot 7=49$, ונשאר 1. כותבים $50=7\cdot 7+1$, כלומר המנה היא 7 והשארית היא 1. השארית תמיד קטנה מהמחלק.

בדיקה בקפיצות של עשר כפולות

כדי לבדוק אם מספר מתחלק במספר חד־ספרתי, נוח להתחיל מעשר כפולות של המחלק ולהשלים משם. עשר כפולות של 7 הן 70, עשרים כפולות הן 140, וכן הלאה.

דוגמה: האם 91 מתחלק ב-7? עשר כפולות של 7 הן 70. נשאר $91-70=21$, ו-21 הוא שלוש כפולות של 7. לכן $91=13\cdot 7$, והמספר מתחלק ב-7. באותו אופן 87 מתחלק ב-3: שלושים כפולות של 3 הן 90, ו-87 קטן מ-90 בכפולה אחת בדיוק, ולכן $87=29\cdot 3$.

סימני התחלקות

במספרים גדולים לא מחלקים בפועל, אלא בודקים סימן התחלקות. מספר מתחלק ב-2 אם ספרת האחדות שלו זוגית; ב-5 אם ספרת האחדות היא 0 או 5; ב-10 אם ספרת האחדות היא 0. מספר מתחלק ב-3 אם סכום ספרותיו מתחלק ב-3, וב-9 אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9. מספר מתחלק ב-4 אם המספר שנוצר משתי הספרות האחרונות מתחלק ב-4, וב-8 אם המספר שנוצר משלוש הספרות האחרונות מתחלק ב-8 — כי 100 מתחלק ב-4 ו-1,000 מתחלק ב-8. מספר מתחלק ב-6 אם הוא מתחלק גם ב-2 וגם ב-3.

דוגמה: האם 13,782 מתחלק ב-6? ספרת האחדות היא 2, ולכן המספר זוגי. סכום הספרות הוא $1+3+7+8+2=21$, ו-21 מתחלק ב-3. המספר מתחלק גם ב-2 וגם ב-3, ולכן הוא מתחלק ב-6: $13,782=6\cdot 2,297$. דוגמה נוספת: 7,560 מתחלק ב-8, כי שלוש הספרות האחרונות יוצרות את 560, ו-$560=8\cdot 70$.

קיצורי דרך בחילוק

במבחן אין מחשבון, ולכן כדאי להכיר כמה קיצורי דרך שהופכים חילוק ארוך לכמה צעדים קצרים.

פירוק למחוברים נוחים

מפרקים את המחולק לחלקים שכל אחד מהם מתחלק בקלות במחלק, מחלקים כל חלק בנפרד, ומחברים את התוצאות. חלקים נוחים הם בדרך כלל עשר כפולות של המחלק.

דוגמה: $96÷4$: מפרקים את 96 ל-$40+40+16$. כל 40 מתחלק ב-4 ונותן 10, ו-16 נותן 4. לכן $96÷4=10+10+4=24$. באותו אופן $72÷3=(30+30+12)÷3=10+10+4=24$.

צמצום לפני חילוק

אם מחלקים את המחולק ואת המחלק באותו מספר, תוצאת החילוק לא משתנה — זה בדיוק צמצום של שבר. לכן לפני שמחלקים, מצמצמים את שני המספרים ככל האפשר.

דוגמה: $\frac{90}{6}$: מצמצמים ב-3 ומקבלים $\frac{30}{2}=15$. $\frac{80}{16}$: אפשר לצמצם ב-2, אבל עדיף לצמצם מיד במספר הגדול ביותר האפשרי, 16, ומקבלים $\frac{5}{1}=5$. צמצום במספר קטן יותר מגיע לאותה תוצאה, רק בעוד צעדים.

חילוק במספר עשרוני ובמספר 5

כשהמחלק הוא מספר עשרוני, כופלים את שני המספרים ב-10 (או ב-100) עד שהמחלק שלם: $4.8÷0.6=48÷6=8$. חילוק ב-5 שקול לכפל ב-2 ולחילוק ב-10: $135÷5=270÷10=27$.

חילוק ארוך

כשאין פירוק נוח, מחלקים ספרה אחר ספרה משמאל לימין. דוגמה: $952÷7$. הספרה 9 מכילה את 7 פעם אחת, ונשאר 2. מורידים את הספרה הבאה ומקבלים 25, שמכיל את 7 שלוש פעמים ($3\cdot 7=21$), ונשאר 4. מורידים את הספרה האחרונה ומקבלים 42, שמכיל את 7 בדיוק שש פעמים. התוצאה היא 136, ואפשר לבדוק בכפל: $136\cdot 7=952$.

סדר פעולות חשבון

כשבביטוי אחד יש כמה פעולות, התוצאה תלויה בסדר שבו מבצעים אותן. לכן יש סדר מוסכם, והוא מחייב: בביטוי $2+2\cdot 2$ מבצעים קודם את הכפל, והתוצאה היא $2+4=6$ ולא 8.

הסדר המוסכם

1. סוגריים — מה שבתוך הסוגריים מחשבים ראשון. כשיש סוגריים בתוך סוגריים, מתחילים מהפנימיים.

2. חזקות ושורשים.

3. כפל וחילוק — הם באותה דרגה, ולכן מבצעים אותם לפי הסדר שבו הם כתובים, משמאל לימין.

4. חיבור וחיסור — גם הם באותה דרגה, ומבצעים אותם משמאל לימין.

למשל, בגלל הסוגריים $(2+2)\cdot 2=4\cdot 2=8$.

משמאל לימין בתוך אותה דרגה

הכלל ״כפל לפני חילוק״ אינו נכון, וגם ״חיבור לפני חיסור״ אינו נכון. בתוך אותה דרגה מתקדמים לפי סדר הכתיבה. בביטוי $12÷3\cdot 2$ מחלקים קודם: $12÷3=4$, ואחר כך $4\cdot 2=8$. מי שמתחיל מהכפל מקבל 2, וזו טעות. באותו אופן $20-8+2=12+2=14$, ולא 10.

חזקה ומספר שלילי

החזקה חלה רק על מה שצמוד אליה מיד. בביטוי $-3^2$ החזקה חלה על 3 בלבד, והמינוס בא אחריה: $-3^2=-9$. כדי שהחזקה תחול גם על המינוס צריך סוגריים: $(-3{)}^2=9$. באותו אופן $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$, ולא $6^2$.

כפל שאינו כתוב, וקו שבר

מספר שצמוד לסוגריים בלי סימן ביניהם מוכפל בהם: $7(4+6)=7\cdot 10=70$. גם בין שני סוגריים צמודים יש כפל: $(4+6)(5+5)=10\cdot 10=100$. קו שבר פועל כמו סוגריים סביב המונה וסביב המכנה: $\frac{12+6}{3}=\frac{18}{3}=6$. בלי הקו, הביטוי $12+6÷3$ שווה 14 — ערך אחר לגמרי.

דוגמה: $40-2\cdot (3+1{)}^2÷4$. סוגריים: $3+1=4$. חזקה: $4^2=16$. כפל וחילוק משמאל לימין: $2\cdot 16=32$, ואחר כך $32÷4=8$. חיסור: $40-8=32$.