מושגים בפסיכומטרי: כפל: קיצורי דרך לכפל מהיר בלי מחשבון

מהו כפל

כפל הוא חיבור חוזר של אותו מספר. אם בכל יום נחסכים 5 שקלים, אחרי 100 ימים אין צורך לחבר את 5 מאה פעמים — כותבים $5\cdot 100=500$. המספרים שכופלים זה בזה נקראים גורמים, והתוצאה נקראת מכפלה.

סדר הגורמים לא משנה

שלוש קבוצות של שני פריטים ושתי קבוצות של שלושה פריטים הן אותה כמות: $3\cdot 2=2\cdot 3=6$. דרך נוחה לראות זאת היא מלבן של שורות וטורים. במלבן של 3 שורות ו-2 טורים יש 6 משבצות, וכשמסובבים אותו הוא נשאר עם 6 משבצות. מאותה סיבה שטח של מלבן הוא אורך כפול רוחב.

גם הקיבוץ לא משנה: כשכופלים שלושה גורמים או יותר, אפשר לכפול קודם כל זוג שנוח לכפול. למשל $6\cdot 2\cdot 5=6\cdot (2\cdot 5)=6\cdot 10=60$. שתי התכונות האלה הן הבסיס לכל קיצורי הדרך שבהמשך.

למה זה חשוב בבחינה

בפרק הכמותי אסור להשתמש במחשבון, ולכל שאלה יש בערך דקה. לכן לא מספיק לדעת לכפול — צריך לכפול מהר ובלי טעויות. הדף מציג קיצורי דרך בלוח הכפל, דרכים לפרק כפל קשה לכמה פעולות קלות, ואת הכללים לסימן של המכפלה, לאפסים ולמספרים עשרוניים.

קיצורי דרך בלוח הכפל

לוח הכפל עד 10 כולל 100 מכפלות, אבל רובן אינן דורשות שינון. מכיוון שסדר הגורמים לא משנה, כמעט חצי מהלוח חוזר על עצמו: מי שיודע כמה זה $7\cdot 8$ יודע גם כמה זה $8\cdot 7$. ושורות שלמות אפשר לחשב בקיצור דרך.

כפל ב-1, ב-2 וב-10

כפל ב-1 משאיר את המספר כפי שהוא: $17\cdot 1=17$. כפל ב-2 הוא חיבור של המספר לעצמו: $36\cdot 2=36+36=72$. כפל של מספר שלם ב-10 מוסיף לו אפס בסוף: $19\cdot 10=190$, ו-$4231\cdot 10=42310$.

כפל ב-5: כפל ב-10 ואז חצי

5 הוא חצי מ-10, ולכן כופלים ב-10 ומחלקים ב-2. דוגמה: כדי לחשב $8\cdot 5$ מחשבים קודם $8\cdot 10=80$, ולוקחים חצי: 40. זה עובד גם במספרים גדולים: $46\cdot 5$ הוא חצי מ-460, כלומר 230.

כפל ב-4 וב-8: הכפלה חוזרת

מכיוון ש-$4=2\cdot 2$, כפל ב-4 הוא הכפלה פי 2 ועוד הכפלה פי 2: $6\cdot 2=12$, ו-$12\cdot 2=24$, ולכן $6\cdot 4=24$. כפל ב-8 הוא שלוש הכפלות כאלה: $7\cdot 8$ — 14, אחר כך 28, ואחר כך 56.

כפל ב-9: כפל ב-10 פחות פעם אחת

מכיוון ש-$9=10-1$, מתקיים $9\cdot n=10\cdot n-n$. למשל $9\cdot 7=70-7=63$. במכפלות של 9 עד $9\cdot 10$ יש גם תבנית שמאפשרת לבדוק את התוצאה: ספרת העשרות קטנה ב-1 מהמספר שכופלים ב-9, וסכום שתי הספרות הוא 9 (18, 27, 36, 45 וכן הלאה). לכן $9\cdot 6$ מתחיל ב-5, ומכיוון ש-$5+4=9$ התוצאה היא 54.

כפל ב-11: כפל ב-10 ועוד פעם אחת

מכיוון ש-$11=10+1$, מתקיים $11\cdot n=10\cdot n+n$. במספר חד-ספרתי התוצאה היא אותה ספרה פעמיים: $11\cdot 4=44$. במספר גדול יותר מחברים: $11\cdot 36=360+36=396$.

ריבועים ומכפלות שכדאי לזכור

מכפלה של מספר בעצמו נקראת הריבוע של המספר, כי $3\cdot 3$ נקודות אפשר לסדר בריבוע של 3 על 3. את הריבועים עד $15\cdot 15$ כדאי לדעת בעל־פה, כי הם חוזרים בשאלות על שטחים, על משפט פיתגורס ועל שורשים. כדאי לזכור גם כמה מכפלות שנותנות מספר עגול, כי הן מקצרות חישובים ארוכים: $4\cdot 25=100$, $8\cdot 125=1000$, $12\cdot 5=60$ ו-$15\cdot 4=60$.

כפל מספרים גדולים בפירוק

כשהמכפלה לא מופיעה בלוח הכפל, מפרקים את אחד הגורמים לחלקים שקל לכפול בהם. יש שלוש דרכים עיקריות לעשות זאת.

פירוק לסכום: חוק הפילוג

כפל של מספר בסכום שווה לסכום המכפלות: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. מפרקים מספר לעשרות ולאחדות וכופלים כל חלק בנפרד: $12\cdot 5=(10+2)\cdot 5=50+10=60$. חשוב לכפול כל אחד מהמחוברים שבסוגריים, ולא רק את הראשון.

דוגמה: $23\cdot 7=(20+3)\cdot 7=140+21=161$.

פירוק להפרש: עיגול למספר עגול

כשגורם קרוב למספר עגול, נוח לעגל אותו ואז לתקן. $19\cdot 6=(20-1)\cdot 6=120-6=114$, ו-$98\cdot 4=(100-2)\cdot 4=400-8=392$. גם כאן התיקון נכפל: מחסרים $1\cdot 6$ ולא 1.

פירוק לכפל

אפשר גם לפרק גורם למכפלה, ולקבץ מחדש כך שייווצר 10 או 100: $12\cdot 5=6\cdot 2\cdot 5=6\cdot 10=60$. באותו רעיון כפל ב-25 הוא כפל ב-100 וחלוקה ב-4: $36\cdot 25=9\cdot 4\cdot 25=9\cdot 100=900$, ו-$16\cdot 25=4\cdot 4\cdot 25=4\cdot 100=400$.

דוגמה מלאה בשתי דרכים

דוגמה: כמה זה $48\cdot 15$? בחוק הפילוג: $48\cdot 15=48\cdot 10+48\cdot 5=480+240=720$, כשהכפל ב-5 הוא חצי מהכפל ב-10. בפירוק לכפל: $48=24\cdot 2$, ולכן $48\cdot 15=24\cdot (2\cdot 15)=24\cdot 30=720$. שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה, ובוחרים בכל פעם את זו שהמספרים בה נוחים יותר.

סימן המכפלה, אפסים ועשרוניים

כפל של מספרים שליליים

קובעים קודם את הסימן ואחר כך את הגודל. מכפלה של שני מספרים שליליים היא חיובית, ומכפלה של מספר שלילי במספר חיובי היא שלילית: $(-4)\cdot (-2)=8$, ו-$(-4)\cdot 2=-8$. כשכופלים כמה גורמים, סופרים את הגורמים השליליים: מספר זוגי שלהם נותן מכפלה חיובית, ומספר אי-זוגי נותן מכפלה שלילית. למשל $(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)=-6$, כי יש שלושה גורמים שליליים. ומכפלה שאחד הגורמים בה הוא 0 שווה 0, בלי קשר לשאר הגורמים.

אפסים בסוף המספר

כשכופלים מספרים שמסתיימים באפסים, מניחים את האפסים בצד, כופלים את מה שנשאר, ומחזירים את כל האפסים לסוף. למשל, כדי לחשב $20\cdot 300$ כופלים $2\cdot 3=6$ ומוסיפים שלושה אפסים, ומקבלים 6000. כדי לחשב $40\cdot 500$ כופלים $4\cdot 5=20$ ומוסיפים שלושה אפסים, ומקבלים 20000. האפס של 20 נוסף על שלושת האפסים ולא בא במקומם.

כפל של מספרים עשרוניים

באותו אופן מניחים בצד את הנקודה העשרונית: כופלים כאילו אין נקודה, ואז סופרים כמה ספרות יש אחרי הנקודה בשני הגורמים יחד — זה מספר הספרות אחרי הנקודה בתוצאה. למשל, כדי לחשב $0.4\cdot 0.3$ כופלים $4\cdot 3=12$, ומכיוון שיש שתי ספרות אחרי הנקודה התוצאה היא 0.12. כדי לחשב $2.5\cdot 0.04$ כופלים $25\cdot 4=100$, ומכיוון שיש שלוש ספרות אחרי הנקודה התוצאה היא 0.100, כלומר 0.1.