מושגים בפסיכומטרי: מעגלים — היקף, שטח וגזרה

היקף המעגל: 2πr — ובכיוון ההפוך

מבוא

היקף מעגל

לפני שנים רבות גילו כי הקוטר נכנס להיקף שלוש פעמים וקצת. (היקף = 3 וקצת • קוטר) המספר המוזר שהתקבל זכה להיקרא באות π (פאי), וכל שעליכם לזכור שמדובר במספר שקצת יותר גדול מ-3. (מספיק לזכור 3.14). בעזרת π נחשב שטח והיקף מעגל.
היקף מעגל שווה- $2\pi r$

דוגמה:
אורך הרדיוס של המעגל בשרטוט לפניך הוא 3 ס״מ.
מה היקפו של המעגל?

תשובה:
נציב את אורך הרדיוס בנוסחא לחישוב היקף המעגל
$.2\pi r=2\cdot \pi \cdot 3=6\pi$

שימו לב! אם נתון ההיקף אנו יכולים למצוא את הרדיוס

דוגמה:
נתון מעגל שהקיפו הוא 8π. מה אורך הרדיוס של המעגל?

תשובה:
נציב את ההיקף בנוסחא של היקף המעגל:
$2\pi r=8\pi \Rightarrow 2\pi r=8\pi \Rightarrow 2r=8\Rightarrow r=4$

שטח המעגל: πr² — ומציאת רדיוס מתוך שטח

שטח מעגל שווה ל- $\pi r^2$

דוגמה
אורך הרדיוס של המעגל בשרטוט לפניך הוא 3 ס"מ.
מה שטחו של המעגל?

תשובה:
נציב את אורך הרדיוס בנוסחא לחישוב שטח המעגל.

שימו לב! אם נתון השטח אנו יכולים למצוא את הרדיוס

דוגמה
נתון מעגל ששטחו הוא 16π. מה אורך הרדיוס של המעגל?

תשובה:
נציב את השטח בנוסחא של שטח המעגל:
$\pi r^2=16\pi \Rightarrow \pi r^2=16\pi \Rightarrow r^2=16\Rightarrow r=4$

גזרה: איזה חלק מהמעגל קיבלנו

גזרה היא השטח בין שני רדיוסים.

נתייחס למעגל כאל משולש פיצה. חישבו, בלי נוסחאות, איזה חלק מהפיצה אתם מקבלים בכל אחד מהמקרים הבאים:

הגודל של הגזרה שאתם מקבלים תלוי בזווית המרכזית במקרה א', הזווית היא 90º, וקיבלתם $\frac{1}{4}$ מהפיצה. במקרה ב’, הזווית היא 180’, וקיבלתם $\frac{1}{2}$ מהפיצה. במקרה ג', האפשרות הכי טובה, הזווית היא $270^{\circ }$, וקיבלתם $\frac{3}{4}$ מהפיצה.

כאשר נרצה לבדוק מה גודל החלק שקיבלנו, נחלק את הזווית המרכזית ב- 360º, ונכפול בשטח המעגל בדרך כלל עדיף להימנע מהנוסחא הזו, כי כפי שראיתם לעיל, לרוב לראות מה גודל החתיכה שנקבל ישנן זוויות מרכזיות החוזרות על עצמן, ומומלץ פשוט לזכור אותן

$120^{\circ }\Rightarrow \frac{1}{3}$
$240^{\circ }\Rightarrow \frac{2}{3}$

$90^{\circ }\Rightarrow \frac{1}{4}$
$180^{\circ }\Rightarrow \frac{1}{2}$
$270^{\circ }\Rightarrow \frac{3}{4}$

$45^{\circ }\Rightarrow \frac{1}{8}$

$60^{\circ }\Rightarrow \frac{1}{6}$

דוגמה

בשרטוט לפניך מעגל שאורך רדיוסו 6 ס"מ. לפי הנתונים בשרטוט, מה שטח הגזרה האפורה?

תשובה:
משום שהזווית המרכזית שווה $60^{\circ }$
אז מדובר ב- $\frac{1}{6}$ משטח המעגל. שטח המעגל הוא $\pi r^2=\pi 6^2=36\pi$.
⅙ משטח המעגל הם $36\pi \cdot \frac{1}{\varnothing }=6\pi$.
אם לא היינו זוכרים את העובדה ש- $60^{\circ }$ הם ⅙ משטח המעגל, היינו יכולים להציב בנוסחא:
$\pi r^2\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }}=\pi \cdot 6^2\cdot \frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}=\pi \cdot 36\cdot \frac{1}{6}=6\pi$

תרגול גזרת מעגל
5. בשרטוט לפניך מעגל שאורך רדיוסו 8 ס"מ.

לפי הנתונים בשרטוט, מה שטח הגזרה האפורה?

6. שטח הגזרה האפורה בשרטוט לפניך הוא $\frac{1}{10}$ משטח המעגל.

קשת היא חלק מהיקף המעגל.

אם גזרה היא שטח של משולש פיצה, אז קשת זה הקשה של הפיצה. החישוב של קשת למעשה דומה לחישוב של גזרה, רק שבמקום לבדוק מה החלק שקיבלנו משטח המעגל, אנו בודקים מה החלק שקיבלנו מהיקף המעגל.

דוגמה מלאה: מזווית מרכזית לאורך קשת

בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו O. מה אורך הקשת המודגשת?

תשובה:
משום שהזווית המרכזית שווה $60^{\circ }$, אז מדובר ב- $\frac{1}{6}$ מהיקף המעגל.
היקף המעגל הוא $2\pi r=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$.
⅙ מהיקף המעגל הם $12\pi \cdot \frac{1}{\varnothing }=2\pi$.
אם לא היינו זוכרים את העובדה ש- $60^{\circ }$ הם

45º הם