מושגים בפסיכומטרי: מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק

מושגים בפסיכומטרי · חשיבה כמותית

מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק בפסיכומטרי — המדריך המלא

הסבר מלא בכתב, צעד אחר צעד, בשיטת ההוראה של זינוק: מה זה, איך פותרים, איפה זה מופיע בבחינה, הטעויות שכולם עושים — ושאלות לתרגול עם פתרון.

⏱ קריאה: כ-6 דק' 3 פרקים 2 שאלות לתרגול ▶ 1 סרטוני הסבר זמן לימוד מומלץ: 2–3 שעות

לתרגול מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק

בקצרה

מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק ב-6 משפטים

מערכת צירים היא שני ישרי מספרים ניצבים זה לזה: ציר ה-x האופקי וציר ה-y האנכי. נקודת המפגש ביניהם נקראת ראשית הצירים, והיא הנקודה (0,0).
כל נקודה במישור נכתבת כזוג מספרים בסדר קבוע — (x, y): קודם כמה ימינה או שמאלה, ורק אחר כך כמה למעלה או למטה. היפוך הסדר נותן נקודה אחרת לגמרי.
שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה רבעים, ולכל רביע יש חתימת סימנים משלו. לפי הסימנים בלבד אפשר לדעת באיזה רביע יושבת נקודה — בלי לשרטט כלום.
נקודה שיושבת על ציר ה-x היא נקודה שבה y=0, ונקודה על ציר ה-y היא נקודה שבה x=0. זה מה שפותר כל שאלה מסוג "היכן הגרף חותך את הציר".
אורך קטע שמקביל לאחד הצירים הוא פשוט ההפרש בין השיעורים המשתנים, בערך מוחלט. אין כאן שום נוסחה מסובכת — רק חיסור.
קטע אלכסוני לעומת זאת לא נמדד ישירות: משלימים אותו למשולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים, ומפעילים את משפט פיתגורס. זו כל "נוסחת המרחק", ולכן לא צריך לזכור אותה בעל פה.

ההקשר לבחינה

מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת

פרקי חשיבה כמותית

נספרים לציון (בנוסף לפרק ניסיוני אחד שאינו נכלל בציון)

20 דק'

זמן לפרק

כ-20 שאלות בפרק — כדקה לשאלה, אין זמן לחישובים ארוכים

50%

משקל הכמותי בציון

במתכונת הדו־תחומית מדצמבר 2026; 75% בציון בדגש כמותי

אסור

מחשבון

מותר רק כהתאמה מאושרת — לכן כל החישובים נעשים ביד

איפה מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק מתחבאים בשאלות

קריאת גרפים ותרשימים. כל שאלה שמציגה גרף מתחילה בקריאת נקודות ממנו. מי שמתבלבל בין השיעורים קורא נתון שגוי ופותר נכון את השאלה הלא נכונה.
מרחק בין שתי נקודות. שאלות שמבקשות אורך קטע, צלע של מצולע ששורטט על הצירים או רדיוס של מעגל — כולן חוזרות למשולש ישר-זווית ולפיתגורס.
חיתוך עם הצירים. "באיזו נקודה הישר חותך את ציר ה-x" היא שאלה על הצבת y=0. זהו אחד מסוגי השאלות הקצרות ביותר בפרק — אם יודעים מה שואלים.
סימנים ורבעים. שאלות השוואה כמותית שואלות לעיתים על סימן של שיעור, בלי לתת ערכים מספריים. הרביע לבדו כבר עונה על השאלה.

כ-1–2 שאלות בפרק

מערכת צירים כמעט אף פעם אינה הנושא הראשי של שאלה, אבל היא התשתית של כל שאלה מבוססת גרף או שרטוט ממוקם. ברוב המועדים יש שאלה אחת שבה קריאת נקודה או חישוב מרחק הם שלב מרכזי בפתרון.

מערכת צירים כנושא ראשיכ-2%–4%
קריאת נקודות מגרף כשלב בפתרוןכ-8%–12%
מרחק בין נקודות (פיתגורס על הצירים)כ-3%–5%

אומדן צוות ההוראה של זינוק · אומדן צוות ההוראה של זינוק, על בסיס ניתוח בחינות לדוגמה שפורסמו לציבור. המרכז הארצי לבחינות ולהערכה אינו מפרסם התפלגות נושאים רשמית; הנתון הוא הערכה ועשוי להשתנות ממועד למועד.

במאגר התרגול הציבורי של זינוק: 20 שאלות גאומטריה קל 12 · בינוני 8 נושאים חוזרים: שטח, פיתגורס, עיגול, משולש ישר-זווית

העובדות על מבנה הבחינה מבוססות על פרסומי המרכז הארצי לבחינות ולהערכה, כפי שמסוכמים בעמוד מבנה הבחינה של זינוק. האומדן הוא הערכה של צוות ההוראה ואינו נתון רשמי.

1שני צירים וארבעה רבעים

מה בדיוק מודדים על כל ציר, איפה נמצאת הראשית, ולמה הסימנים של הרבעים חוסכים שרטוט.

רביע	סימן x	סימן y	דוגמה
רביע ראשון (ימין למעלה)	חיובי	חיובי	(3, 4)
רביע שני (שמאל למעלה)	שלילי	חיובי	(−3, 4)
רביע שלישי (שמאל למטה)	שלילי	שלילי	(−3, −4)
רביע רביעי (ימין למטה)	חיובי	שלילי	(3, −4)

חתימת הסימנים של כל רביע. הסימנים לבדם מספיקים כדי לדעת איפה יושבת נקודה — בלי לשרטט.

ציר ה-x, ציר ה-y וראשית הצירים

אל דאגה! בפסיכומטרי אין שום פרבולה צוחקת, פרבולה בוכה, היפרבולות ושאר מחלות.
איור
מערכת צירים נוצרת מחיבור של שני קווים ישרים המאונכים זה לזה. הציר האופקי נקרא ציר הX, ובו המספרים גדלים ככל שנעים ימינה.

והציר האנכי נקרא ציר Y, ובו המספרים גדלים ככל שנעים למעלה.
ראשית הצירים היא נקודת המפגש של ציר ה x וציר ה y. הצירים נפגשים בנקודה בה שניהם שווים ל-0, ויוצרים $9 0^{\circ}$ .

2נקודה ושיעוריה

איך כותבים נקודה, איך קוראים אותה מהשרטוט, ומה קורה לנקודה שיושבת בדיוק על ציר.

שיעורי נקודה (x, y) — הסדר שקובע הכול

כל נקודה במערכת צירים מורכבת משני מספרים. המספר השמאלי הוא x והמספר הימני הוא y. לכן נקודה תהיה תמיד (x,y). הנקודה המציינת את ה x מציינת כמה הלכנו במקביל לציר ה x והנקודה המציינת את ה y מציינת כמה הלכנו במקביל לציר ה y
בשרטוט הבא נתונה הנקודה A. אנו רוצים למצוא את שיעורי הנקודה. שיעורי הנקודה הם (x,y).
איור
הנקודה x תבדוק כמה הלכנו במקביל לציר ה x. בשרטוט הלכנו 2 על ציר הx ולכן ה x שווה 2.

כעת נבדוק כמה הלכנו על ציר ה y. בשרטוט הלכנו 3 במקביל לציר ה y. ולכן ה y שווה 3. מכאן שערכי הנקודה A הם (2,3).

נקודה שנמצאת על אחד הצירים, אחד מערכיה יהיה שווה ל-0
איור

אם נקודה נמצאת על ציר ה x, אז ה y שלה שווה 0
לדוגמה:
בשרטוט לפניך נקודה הממוקמת על ציר ה x. על ציר ה x הלכנו 2, ועל ציר ה y כלל לא הלכנו.
לכן ערכי הנקודה הם $(2, 0)$
איור
בשרטוט לפניך נקודה הממוקמת על ציר ה y. על ציר ה y הלכנו 3, ועל ציר ה x כלל לא הלכנו. לכן ערכי הנקודה הם (0,3).
הנקודה $(0, 0)$ היא נקודת המפגש של הצירים ונקראת גם ״ראשית הצירים״.
איור שימו לב! ערכי נקודה יכולים להיות גם שליליים. תלוי לאן הולכים.
לדוגמה:
כדי למצוא את ערכי הנקודה בשרטוט הלכנו במקביל לציר ה $x$ -3 (זאת אומרת 3 לכיוון השלילי, לשמאל), ועל ציר ה y הלכנו 2 (זאת אומרת 2 לכיוון החיובי, למעלה).
לכן ערכי הנקודה הם $(- 3, 2)$
איור

א. הרבע הימני העליון : גם x וגם y חיוביים.
ב. הרבע השמאלי העליון : x שלילי ו- y חיובי.
ג. הרבע הימני התחתון : x חיובי ו- y שלילי.
ד. הרבע השמאלי התחתון : גם x וגם y שליליים.

קווים המקבילים לצירים: קו יקביל לציר ה x כאשר לשתי נקודות עליו יהיה אותו ערך ל-y. במצב זה נבדוק כמה הלכנו במקביל לציר ה x. הערכים של y בשתי הנקודות בשרטוט זהים. (שניהם שווים ל- 3). לכן הקו מקביל לציר ה x. הלכנו במקביל לציר הx מ-1 עד 6. לכן הלכנו 5. אורך הקו הוא 5
איור
קו יקביל לציר ה y כאשר לשתי נקודות עליו יהיה אותו ערך ל- x. במצב זה נבדוק כמה הלכנו במקביל לציר ה y. הערכים של x בשתי הנקודות בשרטוט זהים. (שניהם שווים ל- 1-). לכן הקו מקביל לציר ה y.
הלכנו במקביל לציר ה y מנקודה ‎-2 ועד נקודה 4. מהנקודה ‎-2 עד ציר ה x הלכנו 2, ומציר ה x עד לנקודה הבאה הלכנו 4. יחד הלכנו 6.

שימו לב כי מדובר באורך של קו, ולכן הוא תמיד יהיה חיובי.
איור

ציר ה-x הוא ישר מספרים רגיל: משמאל לראשית — מספרים שליליים, מימין לה — חיוביים. ציר ה-y הוא בדיוק אותו ישר, מסובב ב-90°.

▶ בווידאו: נקודה ושיעוריה

**קודקודי ריבוע במערכת צירים: תרגיל פתור** לשיעור המלא ←

3אורך קטע ומרחק בין נקודות

קטע מקביל לציר נמדד בחיסור פשוט; קטע אלכסוני מחייב משולש ישר-זווית. שלושה צעדים, בלי נוסחה לשנן.

מסמנים את שתי הנקודות
למשל A(1, 2) ו-B(5, 5). לא צריך שרטוט מדויק — מספיק סקיצה.
משלימים למשולש ישר-זווית
מורידים קטע אופקי וקטע אנכי עד שהם נפגשים. הקטע המקורי הופך ליתר.
מודדים את הניצבים בחיסור
הניצב האופקי: 5−1=4. הניצב האנכי: 5−2=3. בשניהם לוקחים ערך מוחלט — אורך לא יכול להיות שלילי.
מפעילים פיתגורס
4²+3²=25, ולכן האורך הוא 5. זו כל נוסחת המרחק, בלי לשנן אותה.

מרחק בין שתי נקודות אינו נושא בפני עצמו — הוא משפט פיתגורס על גבי מערכת הצירים.

מציאת אורך קטע שאינו מקביל לצירים

קווים אלכסוניים תמיד נמצא בעזרת פיתגורס. כאשר יש קו מלוכסן במערכת צירים, ניצור משולש ישר זווית ששני ניצביו מקבילים לצירים.
נמצא את אורך הקווים המקבילים לצירים ואז נעזר בפיתגורס. לדוגמה:

על מנת למצוא את אורכו של הישר AB יצרנו משולש ישר זווית שניצביו מקבילים לצירים. הישר BC מקביל לציר ה y והישר AC מקביל לציר ה x.
א. יצירת משולש ישר זווית, שניצביו מקבילים לצירים.
ב. נמצא את ערכי הנקודה C: הנקודה C נמצאת באותו מרחק מציר ה x כמו נקודה A, ולכן ה y שלה הוא גם 4. הנקודה C נמצאת אותו מרחק מציר ה y כמו הנקודה B, ולכן ה x שלה הוא גם 3.
ג. נמצא את אורכי הניצבים:
מהנקודה C ל-A הלכנו במקביל לציר ה x. הלכנו מ-3 עד 11, ולכן הלכנו 8. AC=8.
מהנקודה C ל-B הלכנו במקביל לציר ה y. הלכנו מ-4 עד 10, ולכן הלכנו 6. BC=6.
ד. מציאת היתר בעזרת פיתגורס: אורכי הניצבים הם 6 ו- 8. היתר AB שווה 10, לפי השלשה הפיתגורית 3:4:5 שהורחבה פי 2 ל- 6:8:10.
איור

דרך נוספת בה ניתן לדלג על מציאת ערכי הנקודה C היא להמשיך את הקווים עד הצירים. במצב זה ניתן לראות את אורכי הניצבים, כך שהניצב המקביל לציר ה x שווה למרחק שהלכנו מ-3 ועד 11, (ששווה ל8), והניצב המקביל לציר ה y שווה למרחק שהלכנו מ 4- ועד 10 (ושווה ל- 6)

שימו לב

הטעויות הנפוצות במערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק — ואיך נמנעים מהן

היפוך סדר השיעורים

הנקודה (3, 5) מסומנת 5 ימינה ו-3 למעלה

(3, 5) היא 3 ימינה ו-5 למעלה — תמיד x לפני y

הסדר (x, y) קבוע ואינו נתון לבחירה. (3,5) ו-(5,3) הן שתי נקודות שונות, ובשאלת גרף זו תשובה שגויה ודאית. עוזר לזכור: קודם הולכים, ואז עולים.

שכחת הסימן ברבעים השמאליים

נקודה 4 משבצות משמאל לראשית ו-2 מעליה נרשמת (4, 2)

(−4, 2)

ספירת משבצות נותנת מרחק, לא שיעור. שמאלה מהראשית זה x שלילי, ומתחת לראשית זה y שלילי — הסימן הוא חלק מהשיעור, לא קישוט.

חישוב מרחק אלכסוני כהפרש שיעורים

המרחק בין (1,2) ל-(5,5) הוא 4+3=7

המרחק הוא 5 — לפי פיתגורס על ניצבים 4 ו-3

7 הוא האורך של הדרך "במדרגות" — קודם אופקית ואז אנכית. הקו הישר תמיד קצר יותר. רק קטע שמקביל לציר נמדד בחיסור בודד.

בלבול בין נקודה על הציר לראשית

נקודה שנמצאת על ציר ה-x היא (0, 0)

נקודה על ציר ה-x היא (x, 0) — למשל (7, 0)

"על הציר" אומר ששיעור אחד מתאפס, לא שניהם. רק הראשית היא (0,0). הבלבול הזה הורס שאלות חיתוך עם הצירים.

אורך שיצא שלילי

הניצב האופקי הוא 1−5 = −4

האורך הוא |1−5| = 4

כיוון החיסור שרירותי, אבל אורך הוא תמיד אי-שלילי. בפיתגורס זה ממילא מתבטל בריבוע, אבל בשאלה שמבקשת אורך ישירות מינוס אחד הוא תשובה פסולה.

הסתמכות על "איך זה נראה" בשרטוט

הקטע נראה ארוך יותר, אז הוא ארוך יותר

משווים לפי השיעורים הנתונים

שרטוטים בבחינה אינם מצוירים בקנה מידה, ולעיתים זו בדיוק המלכודת. השיעורים הם הנתון; התמונה היא רק עזר.

תרגול

שאלות לדוגמה על מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק — עם פתרון מלא

שאלות מתוך מאגר התרגול של זינוק, בסגנון הבחינה. סמנו את התשובה שנראית לכם נכונה — ותקבלו מיד משוב ופתרון מלא.

שאלה 1 מתוך 2קל

במשולש ישר זווית, הניצבים הם 6 ו-8 ס"מ. מהו אורך היתר?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ב

יש לנו משולש ישר-זווית עם ניצבים 6 ו-8. השאלה: מה היתר?
כאן נכנס משפט פיתגורס — חבר הכי טוב של פסיכומטרי.
1.

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

.
2.

c = 100 = 10

ס"מ.
המספרים 6-8-10 צריכים להדליק לך נורה — זאת השלשה הקלאסית 3-4-5 כפול 2.
תזכור את השלשות המפורסמות: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. אם מזהים — חוסכים את החישוב.
המלכודת הקלאסית: לחבר את הניצבים (

6 + 8 = 14

) — לא, פיתגורס דורש ריבועים.

שאלה 2 מתוך 2בינוני

צלע ריבוע אורכה 5 ס"מ. מהו אורך האלכסון?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ג

ריבוע צלע 5. מחפשים אלכסון.
האלכסון של ריבוע יוצר משולש ישר-זווית שווה-שוקיים — פיתגורס.
1.

d^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50

.
2.

d = 50 = 25 \cdot 2 = 52

.
הנוסחה הכללית: אלכסון ריבוע =

a 2

.
תזכור את שני המשולשים הקסומים:
45-45-90: צלעות ביחס

1 : 1 : 2

.
30-60-90: צלעות ביחס

1 : 3 : 2

מתרגלים את הנושא

עכשיו תורכם: לתרגל מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק

ההסבר נגמר — עכשיו בודקים שזה באמת יושב. חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון, ולכל שאלה יש פתרון מלא.

תרגול גאומטריה20 שאלות עם פתרון מלא ומפורט — בעמוד התרגול הכמותי. לתרגולים באתרכל הנושאים בחשיבה מילולית ובחשיבה כמותית. מבחן לדוגמה במבנה החדשסימולציה מלאה עם טיימר — לבדוק איפה אתם עומדים.

חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון. השאלות נכתבו על ידי צוות ההוראה של זינוק.

שאלות נפוצות

מה תלמידים שואלים על מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק

צריך לזכור את נוסחת המרחק בעל פה?

לא. הנוסחה היא בדיוק משפט פיתגורס אחרי שמשלימים משולש ישר-זווית: ההפרש האופקי בריבוע ועוד ההפרש האנכי בריבוע, ושורש. מי שמבין מאיפה היא באה משחזר אותה בעשר שניות, ולא מתבלבל בין x ל-y תחת לחץ.

איך יודעים באיזה רביע נמצאת נקודה בלי לשרטט?

לפי שני הסימנים בלבד. שניהם חיוביים — רביע ראשון. x שלילי ו-y חיובי — רביע שני. שניהם שליליים — שלישי. x חיובי ו-y שלילי — רביעי. בשאלות השוואה כמותית זה לעיתים כל מה שנדרש.

מה קורה לנקודה שיושבת בדיוק על אחד הצירים?

היא לא שייכת לאף רביע. על ציר ה-x מתקיים y=0, ועל ציר ה-y מתקיים x=0. אם שאלה אומרת "הנקודה נמצאת על ציר ה-y", היא בעצם נתנה לכם את x=0 במתנה.

למה בכלל צריך מערכת צירים בפסיכומטרי, זה לא נושא של בגרות?

בפסיכומטרי לא מופיעה גאומטריה אנליטית מלאה, אבל מערכת צירים היא השפה של כל שאלת גרף — ושאלות גרף מופיעות בכל מועד. מי שקורא נקודה לא נכון מתחיל את הפתרון מנתון שגוי.

איך מוצאים את אמצע הקטע בין שתי נקודות?

ממוצע של השיעורים: ממוצע ערכי ה-x נותן את שיעור ה-x של האמצע, וממוצע ערכי ה-y נותן את שיעור ה-y. זה נשמע כמו נוסחה נוספת, אבל זה פשוט "בדיוק באמצע" בכל כיוון בנפרד.

השרטוט בשאלה נראה מעוות — אפשר לסמוך עליו?

אפשר לסמוך על מה שכתוב, לא על מה שנראה. בפסיכומטרי השרטוטים אינם בהכרח בקנה מידה. אם צריך להשוות אורכים, משווים לפי השיעורים או לפי חישוב — לא לפי העין.

הצעד הבא

רוצים להבין ככה כל נושא בפסיכומטרי?

קורס ההכנה לפסיכומטרי של זינוק מלמד את ההיגיון שמאחורי כל נושא — עם ליווי אישי, מאגר תרגול ענק והתחייבות לציון. יש גם מסלול ללקויי למידה וליווי בהקלות בבחינה.

מבחן ניסיון חינם

ליווי אישימורים שמלווים אתכם לאורך הדרך
מאגר תרגולשאלות עם פתרון מלא, בסגנון הבחינה
התחייבות לציוןלפי תנאי הקורס

מבוסס על חוברת הקורס של זינוקכל השאלות, האיורים והסרטונים בעמוד הם תוכן מקורי של זינוקעודכן 21.9.2026

מושגים בפסיכומטרי: מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק

מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק ב-6 משפטים

מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת

איפה מערכת צירים: נקודות, שיעורים ומרחק מתחבאים בשאלות