מושגים בפסיכומטרי: מרובעים — מקבילית, מלבן ומעוין

מקבילית, מעוין ומלבן: כל התכונות ואיך מחשבים שטח

מבוא
מקבילית
צלעות מקבילית
מקבילית היא מרובע ובו כל זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות.

תרגול

1. בשרטוט לפניך נתונה מקבילית ABCD. מה היקפה?

2. אורכה של הצלע AB הוא 8 ס"מ.
BC=?

זוויות המקבילית x
משום שמדובר בקווים מקבילים, אז במקבילית:
- שתי הזוויות החדות שוות זו לזו, ושתי הזוויות הקהות שוות זו לזו. - סכומן של זוויות סמוכות (זווית חדה+זווית קהה) שווה ל-180º.

3. בשרטוט לפניך מקבילית ABCD.
לפי נתוני השרטוט, $=\beta -\alpha$?

אלכסוני המקבילית
במקבילית יש שני אלכסונים - ארוך וקצר
האלכסון הארוך מחבר בין הקודקודים של שתי הזוויות החדות, והקצר: בין הקודקודים של הזוויות הקהות. כל אלכסון נחצה לשני חלקים שווים

ארבעת המשולשים שנוצרו שווים בשטחם.
שימו לב! אלכסוני המקבילית אינם חוצי זווית! בואו נפרק את הצורה של המקבילית:

הצורות נראות לכם מוכרות?
שני המשולשים הנגדיים שנוצרים על ידי האלכסונים חופפים.

4. בשרטוט לפניך מקבילית ABCD.
נתון: $\mathrm{EA}=6$
$\mathrm{EB}=3$
AC+DB=?

5. בשרטוט לפניך מקבילית ABCD.
נתון: $\measuredangle \mathrm{BAD}=150^{\circ }$
קבע מי מהבאים הוא הארוך ביותר:
(1) AB
(2) BC
(3) AC
(4) BD
6. בשרטוט לפניך מקבילית ABCD.

נתון: $\measuredangle \mathrm{ADB}=30^0$
$\measuredangle \mathrm{ACB}=20^0$
$=\measuredangle \mathrm{AEB}$?

7. בשרטוט לפניך מקבילית ABCD שהיקפה 20 ס"מ.
אורכו של AE הוא 3 ס"מ.
מה היקפו של משולש ABC?

שטח מקבילית

שטח מקבילית = הצלע ×הגובה לצלע

מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. שתי צלעות נגדיות של המעוין מקבילות. מעוין הוא הילד המוצלח מנישואיי דלתון ומקבילית, לכן כל מה שאנו יודעים על הוריו: גב' מקבילית ואדון דלתון, תקף גם במעוין ואף יותר:

בשרטוט לפניך מקבילית ABCD ששטחה 20 סמ״ר.

מה היקפה של המקבילית?

אלכסוני המעוין
כל מה שתמיד רצית לדעת על אלכסוני המעוין:
- חוצים זה את זה
- מאונכים זה לזה
- חוצים את הזוויות מהן הם יוצאים - יוצאים ארבעה משולשי ישרי זווית חופפים
- האלכסון המחבר בין הקודקודים של הזוויות החדות ארוך מהאלכסון המחבר בין הקודקודים של הזוויות הקהות

בשרטוט לפניך מעוין
נתון: זווית $\mathrm{ADB}=80^{\circ }$
$=\measuredangle \mathrm{ACB}$?

12. בשרטוט לפניך מעוין ABCD.
אורכו של אלכסון BD הוא 6 ס"מ.
אורכו של אלכסון AC הוא 8 ס"מ.

מה היקפו של המעוין?

שטח מעוין

דרך א': המוכרת:

שטח מקבילית = הצלע ×הגובה לצלע

לפי נתוני השרטוט, מה שטחו של המעוין?

175

מה היקפו של המעוין?

שטח מעוין
דרך ב': המגניבה:
שטח מעוין ניתן גם לחשב כמכפלת האלכסונים חלקי 2.

בשרטוט לפניך מעוין ABCD ששטחו 36 סמ״ר.

נתון: BD=9 ס"מ

איזו זווית מהבאות הכי גדולה?
(1) זווית EBC
(2) זווית EDA
(3) זווית EAD
(4) כל התשובות שוות בגודלן

אם AB=6 אז גם CD=6, ואם AD=3 אז גם BC=3. היקף המקבילית הוא AB+BC+CD+DA=6+3+6+3=18.
אם היקפה של המקבילית הוא 22 ס"מ, אז אורכן של שתי הצלעות הנותרות הוא 6 ס"מ. משום ששתי הצלעות הנותרות שוות זו לזו, אורך של כל אחת מהן הוא 3 ס"מ.
משום שבמקבילית הזוויות החדות שוות זו לזו, אז גם זווית α שווה 30º, ולכן β-α=150-30=120.

משום שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה, אם EA=6 אז גם EC=6, ואם EB=3 אז גם ED=3. לכן אורך האלכסון AC הוא 12, ואורך האלכסון BD הוא 6, ויחד הם שווים ל-18.
השאלה מתבססת על שני חוקים: א. במשולש, מול הזווית הגדולה ניצבת הצלע הגדולה. ב. האלכסון המחבר את שני הקודקודים של הזוויות החדות במקבילית ארוך מהאלכסון השני.
BD ארוך מ-AB משום שבמשולש ABD הוא ניצב מול הזווית הגדולה. BD ארוך מ-BC משום שבמשולש BCD הוא ניצב מול הזווית הגדולה. BD ארוך מ-AC משום שהוא האלכסון המחבר בין הזוויות החדות.

מכיוון שמשולשים BEC ו- AED חופפים (הם משולשים נגדיים שנוצרו על ידי אלכסוני המקבילית), אז גם זווית EAD שווה ל-20º. זווית AEB היא זווית חיצונית למשולש AED, ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

אמנם אנו לא יודעים את אורך הצלע AB ואורך הצלע BC, אך אנו יודעים את סכומן. אם היקף כל המקבילית הוא 20 ס"מ, אז שתי צלעות סמוכות שוות למחצית ההיקף. לכן AB+BC=10. מכיוון שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה, אם אורכו של AE הוא 3 ס"מ, אז גם אורכו של EC הוא 3 ס"מ, ולכן אורכו של AC הוא 6 ס"מ. יחד: $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=10+6=16$

נחשב את שטח המקבילית בנוסחא: צלע x הגובה לצלע. 80 = 16 (זוכרים ש-5 עושה חצי מהעבודה של 10 ?)
נמצא את אורך הצלע CD בעזרת השטח. אם שטח המקבילית הוא 20 סמ"ר, אז CD•AE=20 ⇒ CD•4=20 ⇒ CD=5. מכיוון ש-CD=AB, אז גם AB=5, ואם BC=6 אז גם AD=6.
יחד: AD+BC+AB+CD=6+6+5+5=12+10=22

מכיוון שכל צלעות המעוין שוות, אורך כל צלע הוא 12 ס״מ. ולכן היקפו 48 = 12•4.

אלכסוני המעוין חוצים את הזוויות. לכן גם ס. הזוויות הנגדיות במעוין שוות זו לזו. לכן גם . ${}^{\text{º90 }90\text{ מכיוון שאלכסוני המעוין מאונכים, הזווית הנוצרת בינם היא }.<\mathrm{BDC}=80^{\circ }}$

נבדוק את משולש . S BEC $=90^{\circ }.\mathrm{S}\mathrm{EBC}=90^{\circ }$ לפי סכום זוויות במשולש, זווית ECB אמורה להשלים ל.º10 ${}^{\text{R◯ }}$, ולכן גודלה

20 ס"מ
אנו רוצים למצוא אורך צלע של המעוין.
מכיוון שאלכסוני המעוין חוצים זה את זה, ומאונכים זה לזה, ניתן למצוא את היתר (צלע המעוין) בעזרת פיתגורס. נבדוק את אחד המשולשים (אין חשיבות איזה משולש, שכן הם חופפים). במשולש AED, אורכו של AE הוא 4 ס"מ, משום שאורכה של AC הוא 8 ס"מ, והאלכסונים חוצים זה את זה. אורכו של ED הוא 3 ס"מ, משום שהוא מחצית מהאלכסון BD, שאורכו 6 ס"מ. אם אורך הניצב הראשון הוא 3, והשני הוא 4, אז היתר במשולש ישר זווית שווה ל-5. משום שכל צלעות המעוין שוות באורכן, היקפו שווה ל-20.

נחשב את שטח המעוין כצלע כפול הגובה לצלע. 75 = 8• שימו לב שהגובה יכול ״לנוע", ואף להיות מחוץ למעוין, וגם משום שכל הצלעות שוות, אין חשיבות לאיזו צלע נציב
מכיוון שנתון לנו שטח המעוין, אנו יכולים למצוא את אורך צלע המעוין בעזרת הנוסחא: שטח מעוין = צלע x גובה לצלע. $\mathrm{AE}\cdot \mathrm{BC}=30\Rightarrow 5\cdot \mathrm{BC}=30\Rightarrow \mathrm{BC}=6$. מכיוון שכל צלעות המעוין שוות, אז היקפו 24 = 6•4.
מכיוון שנתון לנו השטח ואורכו של אחד האלכסונים, נוכל למצוא את אורכו של האלכסון הנותר בעזרת הנוסחא:
שטח מעוין = אלכסון × אלכסון חלקי 2

אנו יודעים כי האלכסון הארוך במעוין מחבר בין הקודקודים של הזוויות החדות
לכן הזוויות שמחבר אלכסון BD חדות יותר, שכן הוא ארוך יותר. כך שזווית BAD גדולה מזווית ADC.
מכיוון שאלכסוני המעוין חוצים את הזוויות, אז מחצית מהזווית הגדולה (BAD) גדולה ממחצית הזווית הקטנה (תשובות 1 ו- 2 הן מחצית של זווית חדה, ואילו תשובה 3 היא מחצית של זווית קהה).

מלבן

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות (=90º). כל זוג צלעות נגדיות במלבן שוות ומקבילות. מלבן הוא למעשה מקבילית משודרגת!

מה היקפו של המרובע ABCD?

2. ABCD 32 ס"מ.
על פי הנתונים בשרטוט, AB=?

מלבן: אלכסונים שווים שחוצים זה את זה

- חוצים זה את זה - שווים באורכם זה לזה

שימו לב! אלכסוני המלבן אינם מאונכים זה לזה, ואינם חוצים את זוויות המלבן!
במלבן שבשרטוט נתון ש- 8=AD ס"מ, וכי אלכסון 5=AE ס"מ.

מה היקפו של המלבן?

שטח מלבן:
שטח מלבן = רוחב × אורך. במילים אחרות, מכפלה של צלע ארוכה בצלע קצרה.

5. בשרטוט לפניך מלבן ABCD.

נתון: $8=\mathrm{AB}$ ס"מ
17 = BD ס"מ

מה שטחו של המלבן?

נתון: 3 = AD ס"מ
5 = AC ס"מ

מה שטחו של המלבן?

בשרטוט לפניך מלבן ABCD ששטחו 10 סמ״ר.

נתון: AD=5 ס"מ
מה היקפו של המלבן?

8. בשרטוט לפניך מלבן ABCD.
נתון: זווית $\mathrm{BDC}=30^{\circ }$

2=AE

מה שטחו של המלבן?