מושגים בפסיכומטרי: שטחים מושחרים: חיבור, חיסור והרכבה של צורות

שטחים מושחרים: חיבור, חיסור והרכבה של צורות

שטח מושחר אינו נושא נפרד מהגאומטריה שכבר נלמדה. זו דרך להציג שאלה על שטחים של צורות מוכרות: ריבוע, מלבן, משולש, מעגל, חצי מעגל ורבע מעגל. לשטח המבוקש כמעט אף פעם אין נוסחה משלו, אבל הוא תמיד בנוי מצורות שיש להן נוסחה.

שלוש דרכים למצוא שטח מושחר

• חיסור: השטח המושחר הוא צורה גדולה פחות הצורה הלבנה שבתוכה. זו הדרך הנפוצה ביותר.
• חיבור: השטח המושחר מורכב מכמה חלקים שלכל אחד מהם יש נוסחה, ומחברים את השטחים שלהם.
• הרכבה מחדש: מזיזים חלקים מושחרים למקום אחר בציור, כך שיחד הם יוצרים צורה פשוטה אחת.

קודם תוכנית, אחר כך חישוב

לפני שמתחילים לחשב, כותבים תוכנית קצרה במילים: מה מחפשים, ואיך מקבלים את זה מצורות שיודעים לחשב. למשל: ״השטח המושחר = שטח הריבוע פחות שטח המעגל״. רק אחרי שהתוכנית כתובה מציבים מספרים. התוכנית חוסכת חישובים מיותרים, ולעיתים קרובות היא לבדה מספיקה כדי לפסול חלק מהתשובות.

ארבעת הציורים הבאים מראים איך נראית תוכנית כזו בצורות הנפוצות ביותר.

ריבוע בתוך מעגל: השטח המושחר הוא שטח המעגל פחות שטח הריבוע שבתוכו.

מעגל בתוך ריבוע: השטח המושחר הוא שטח הריבוע פחות שטח המעגל שבתוכו.

רבע מעגל בתוך ריבוע: מרכזו של רבע המעגל הוא אחד מקודקודי הריבוע, ורדיוסו שווה לצלע הריבוע. השטח המושחר הוא שטח הריבוע פחות שטח רבע המעגל.

משולש בתוך מעגל: השטח המושחר הוא שטח המעגל פחות שטח המשולש שקודקודיו על המעגל.

דוגמאות פתורות

דוגמה: מעגל שרדיוסו 3 חסום בריבוע. מהו השטח המושחר שבין המעגל לפינות הריבוע? התוכנית: ריבוע פחות מעגל. המעגל נוגע בכל ארבע הצלעות, ולכן צלע הריבוע שווה לקוטר: $2\cdot 3=6$. שטח הריבוע הוא $6^2=36$, שטח המעגל הוא $\pi \cdot 3^2=9\pi$, והשטח המושחר הוא $36-9\pi$. אם מבקשים רק את אחת מארבע הפינות, מחלקים ב-4 ומקבלים $9-\frac{9\pi }{4}$.

דוגמה: בריבוע שצלעו 4 מצויר רבע מעגל שמרכזו באחד מקודקודי הריבוע ורדיוסו 4. התוכנית: ריבוע פחות רבע מעגל. שטח הריבוע הוא 16, שטח המעגל השלם הוא $\pi \cdot 4^2=16\pi$, ורבע ממנו הוא $4\pi$. השטח המושחר: $16-4\pi$.

דוגמה: ריבוע חסום במעגל שרדיוסו 5. התוכנית: מעגל פחות ריבוע. צלע הריבוע אינה נתונה, אבל האלכסון שלו עובר דרך מרכז המעגל, ולכן הוא קוטר שאורכו 10. שטח של ריבוע אפשר לחשב גם מהאלכסון, כחצי מריבוע האלכסון: $\frac{10^2}{2}=50$. שטח המעגל הוא $\pi \cdot 5^2=25\pi$, והשטח המושחר הוא $25\pi -50$.

פסילת תשובות לפי צורת התוצאה

התוכנית מראה איך התשובה צריכה להיראות עוד לפני כל חישוב, ובעזרתה אפשר לפסול תשובות שאינן מתאימות לה.

נניח שהתוכנית היא ריבוע פחות מעגל. בשטח של מעגל תמיד מופיע $\pi$, ולכן התשובה חייבת להיראות כמו מספר פחות מספר כפול $\pi$, כלומר $a-b\pi$. תשובה מהצורה $a+b\pi$ נפסלת, וכך גם תשובה שיש בה רק מספר בלי $\pi$, או רק כפולה של $\pi$ בלי מספר שמחסרים ממנו.

בדיקה נוספת היא סדר גודל: $\pi$ הוא קצת יותר מ-3. בדוגמה של המעגל בתוך הריבוע התשובה היא $36-9\pi$, כלומר בערך $36-28=8$. תשובה כמו $9\pi -36$ היא שלילית, ולכן נפסלת מיד. תשובה כמו $36+9\pi$ גדולה מהריבוע כולו, ולכן גם היא נפסלת. שטח מושחר תמיד חיובי, ותמיד קטן מהצורה שהוא נמצא בתוכה.

מחלקים ומרכיבים מחדש

לפעמים החלקים המושחרים מפוזרים בכמה מקומות, וחישוב של כל אחד מהם בנפרד מסובך. במקרה כזה בודקים אם אפשר להזיז חלק מושחר — להעביר אותו, לסובב אותו או לשקף אותו — כך שישלים חלק אחר לצורה פשוטה. הזזה כזו אינה משנה את השטח, ולכן מותר לחשב את הצורה החדשה במקום את המקורית.

דוגמה: מעגל חסום בריבוע שצלעו 4, וקו אנכי חוצה את שניהם באמצע. בחצי הימני מושחר חצי המעגל, ובחצי השמאלי מושחרות שתי הפינות שמחוץ למעגל. מהו השטח המושחר כולו?

משקפים את חצי המעגל המושחר אל הצד השמאלי. הוא ממלא בדיוק את חצי המעגל הלבן שבין שתי הפינות, ויחד הם יוצרים את כל החצי השמאלי של הריבוע:

לכן השטח המושחר הוא חצי משטח הריבוע: $\frac{4^2}{2}=8$, בלי $\pi$ בכלל. אפשר לוודא זאת בחישוב ישיר: רדיוס המעגל הוא 2, ולכן שטח חצי המעגל הוא $2\pi$. שתי הפינות השמאליות הן חצי ריבוע פחות חצי מעגל, כלומר $8-2\pi$. יחד: $8-2\pi +2\pi =8$.