מושגים בפסיכומטרי: דמיון משולשים ויחס קווי

משולשים דומים והיחס הקווי: מה עובר ביחס ומה בריבוע

מבוא

אתם זוכרים את "מיני-מי" ו- "דוקטור איוול" (evil) מאוסטין פאוורס? הרעיון של דמיון הוא די דומה. מישהו לקח צורה ומצא דרך להגדיל אותה בדיוק או להקטין אותה בדיוק כך שתשמור על הפרופורציות שלה. אם בבני אדם מה שקובע איך ייראו הם העיניים, שיער, אף וכו’, במצולעים מה שקובע הוא הזוויות.
לכן:
צורות דומות הן צורות שכל זוויותיהם שוות.
לדוגמה:

לדוגמא: במשולש נחוצות שתי זוויות מכיוון שאם יש שתיים ניתן לגלות את הנותרת. במרובע נחוצות שלוש זוויות מכיוון שאם יש שלוש ניתן לגלות את הנותרת.

תקוה

בין מצולעים דומים נוצר יחס קווי (יחס בין צלעות), היחס נוצר תמיד בין הצלעות שנמצאות מול אותה זווית
או בעברית:
במקרה הזה אנו מזהים שהמשולשים דומים כי יש שתי זוויות זהות (אם שתיים זהות, גם השלישית זהה). מול זווית ה- $60^{\circ }$ במשולש האחד יש 7 ובמשולש השני 14, מתוך זה גילינו בעצם את היחס הקווי 7:14, או יותר נכון (לאחר צמצום) 1:2.
עתה ניתן לגלות את הצלעות האחרות במשולש הגדול: X נמצא מול זווית ה- $40^{\circ }$ ולכן שווה פעמיים 5, כלומר 10. הצלע הנותרת נמצאת מול זווית ה- $80^{\circ }$ ולכן שווה פעמיים 9, כלומר 18.

תרגול

1. על פי נתוני השרטוט, כמה שווה X?

2. על פי נתוני השרטוט, כמה שווה y?

מצבי דמיון נפוצים

שני משולשים שנפגשים בקודקוד, ומשולש בתוך משולש

נוצר בין שני קווים מקבילים (הקווים המודגשים), על פי הכללים שלמדתם ב״זוויות בין מקבילים״ α=α ו- β=β, מכיוון שהישר בין המקבילים יוצר את ה-Z של זורו. γ שווה בשני המשולשים (זוויות קודקודיות).

חישוב צלעות ב״פפיון״
תחילה נגלה את היחס הקווי- בכדי לגלות אותו עלינו למצוא בשני המשולשים זווית זהה שמולה יש צלע בשני המשולשים.

במקרה הזה מול γ יש במשולש הקטן צלע באורך 4 ס"מ ובמשולש הגדול צלע באורך 10 ס״מ.
כלומר, היחס הוא 4:10, או בצמצום 2:5.

X נמצא מול α במשולש הגדול, ובמשולש הקטן מול α יש צלע באורך 8 ס"מ.

ולאחר כפל באלכסון:

Y נמצא מול β במשולש הקטן, ובמשולש הגדול מול β יש צלע באורך 15 ס"מ.

ולאחר כפל באלכסון:

"פיצה"

נוצר כאשר בתוך משולש מעבירים קו המקביל לאחת הצלעות. (במקרה הזה הקו המקביל והצלע אליה הוא מקביל מסומנים בקו מודגש), $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{CB}$ מכיוון שהקווים מקבילים : $\alpha =\alpha =\beta$ ו- $\beta =\alpha$ וזוית הראש γ זהה בשני המשולשים, מפני שהיא משותפת.

שימו לב: המשולשים הדומים בשרטוט הם: $△\mathrm{ABC}$ ו- $△\mathrm{ADE}$. קיימת נטייה לרחף ולטעות, וליצור את היחס הקווי במקרה הזה בין $△\mathrm{ADEBC}$ לבין הטרפז

חישוב צלעות ב״פיצה"

תחילה נגלה את היחס הקווי- בכדי לגלות אותו עלינו למצוא בשני המשולשים זווית זהה שמולה יש צלע בשני המשולשים. במקרה הזה מול β יש במשולש הקטן צלע באורך 9 ס"מ ובמשולש הגדול הצלע מול β היא כל AC (15 ס"מ). כלומר היחס הוא 9:15, או בצמצום 3:5.

עתה נותר לגלות את הצלעות הנותרות: X נמצא מול α במשולש הקטן, ובמשולש הגדול מול α יש צלע באורך 20 ס"מ.

ולאחר כפל באלכסון: $3\cdot 20=5\cdot x\Rightarrow 60=5x\Rightarrow x=12$
Y נמצא מול γ במשולש הגדול, ובמשולש הקטן מול γ יש צלע באורך 6 ס"מ.

ולאחר כפל באלכסון:

אנך ליתר: שני משולשים ישרי-זווית בתוך משולש ישר-זווית

נוצר כאשר מורידים אנך ליתר במשולש ישר זווית. זווית α משותפת לשני המשולשים, זווית ישרה יש בשני המשולשים,

עתה נותר לגלות את הצלעות הנותרות:

X נמצא מול β במשולש הגדול, ובמשולש הקטן מול β לא מצוין האורך, אך מדובר במשולש ישר זווית ולכן בא לעזרתנו המשפט הידוע: משפט פיתגורס. ובמקרה הזה: השלשה הפיתגורית 5:12:13 בהרחבה פי 2, כלומר 10:24:26.

במקרה הזה, מכיוון שהמשולשים דומים, ידוע לנו שגם המשולש הגדול $△\mathrm{ABC}$ מקיים את השלשה הפיתגורית 5:12:13 בהרחבה פי 3 (ע״פ היחס שגילינו בהתחלה: אם המשולש הקטן הורחב פי 2, המשולש הגדול יורחב פי 3), כלומר 15:36:39.
אם כך: x=36 ו- y=39.

6. נתון: ⁦AB $|\mid \mathrm{DE}$⁩, על פי נתוני השרטוט $\mathrm{x}=$?
7. על פי נתוני השאלה הקודמת, y=?

8. נתון: DE || BC, על פי נתוני השרטוט x=?
9. על פי נתוני השאלה הקודמת, y=?

11. על פי נתוני השאלה הקודמת, y=?