מושגים בפסיכומטרי: קווים מקבילים: מרחק, זוויות ומשולשים

קווים מקבילים: מרחק, זוויות ומשולשים

מה הם ישרים מקבילים

שני ישרים באותו מישור נקראים מקבילים אם הם אינם נפגשים לעולם, גם כשממשיכים אותם בלי סוף לשני הכיוונים. את ההקבלה מסמנים בסימן ∥: הכתיבה $a\parallel b$ פירושה שהישר a מקביל לישר b, והכתיבה $AB\parallel CD$ פירושה שהקטע AB מקביל לקטע CD.

המרחק בין שני ישרים מקבילים

קטע שמאונך לשני ישרים מקבילים הוא הקטע הקצר ביותר שמחבר ביניהם, ואורכו הוא המרחק בין הישרים. המרחק הזה קבוע: בכל מקום שבו מעבירים אנך מישר אחד לשני, מתקבל אותו אורך. בשרטוט שלפניכם הישרים a ו-b מקבילים, והקטעים AD ו-BC מאונכים לשניהם.

הסיבה: הקטעים AD ו-BC מאונכים שניהם לאותו ישר, ולכן הם מקבילים זה לזה. הצורה ABCD היא אפוא מלבן, ובמלבן צלעות נגדיות שוות. לכן כאשר $a\parallel b$, מתקיים:

דוגמה: המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא 6 ס״מ. מהנקודה A שעל הישר העליון יורד אנך אל הנקודה D שעל הישר התחתון, ומ-A יורד גם קטע משופע אל הנקודה E שעל הישר התחתון, במרחק 8 ס״מ מ-D. מה אורך AE?

המשולש ADE ישר-זווית ב-D, וניצביו הם AD = 6 ו-DE = 8. לפי משפט פיתגורס $A{E}^2=6^2+8^2=36+64=100$, ולכן AE = 10 ס״מ. הקטע המשופע ארוך מהמרחק — 10 לעומת 6 — וכך גם כל קטע משופע אחר בין שני המקבילים. לכן כשמחפשים את המרחק בין מקבילים, מחפשים את האנך ולא קטע אחר שמחבר ביניהם.

שמונה זוויות וישר חותך

כאשר ישר שלישי חותך שני ישרים מקבילים, נוצרות שמונה זוויות, ארבע סביב כל נקודת חיתוך. את הישר השלישי מכנים ״חותך״. בשרטוט, הזוויות הקהות מסומנות ב-α והחדות ב-β:

כל הזוויות שמסומנות ב-α שוות זו לזו, וכל הזוויות שמסומנות ב-β שוות זו לזו. כלומר, מתוך שמונה הזוויות יש רק שני גדלים: כל זווית חדה שווה לכל זווית חדה אחרת, וכל זווית קהה שווה לכל זווית קהה אחרת. זווית חדה וזווית קהה שיושבות זו לצד זו על אותו ישר הן זוויות צמודות, ולכן סכומן 180°.

לזוגות הזוויות יש שמות, וכדאי להכיר אותם כי הם מופיעים בנוסח השאלות:

• זוויות מתאימות — יושבות באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך, למשל שתי הזוויות שמעל כל מקביל ומימין לחותך. הן שוות.
• זוויות מתחלפות — שתיהן בין שני המקבילים, משני צדי החותך. הן שוות.
• זוויות חד-צדדיות — שתיהן בין שני המקבילים, באותו צד של החותך. אחת חדה ואחת קהה, ולכן סכומן 180°.

כדי לפתור אין צורך לשנן את השמות: מספיק לבדוק אם שתי הזוויות מאותו סוג (שתיהן חדות או שתיהן קהות), ואז הן שוות, או מסוגים שונים, ואז סכומן 180°. כשהחותך מאונך למקבילים, כל שמונה הזוויות ישרות, ושני הכללים מתקיימים יחד.

דוגמה: ישר חותך שני ישרים מקבילים, ואחת הזוויות שנוצרות היא 65°. כל שבע הזוויות האחרות נקבעות מיד: הזוויות החדות שוות כולן ל-65°, והזוויות הקהות שוות כולן ל-$180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$. בדיקה: סביב כל נקודת חיתוך יש שתי זוויות של 65° ושתיים של 115°, וסכומן $2\cdot 65^{\circ }+2\cdot 115^{\circ }=360^{\circ }$, כמו שצריך סביב נקודה.

זווית בנקודה שבין שני מקבילים

מבנה נפוץ בשרטוטים: שני ישרים מקבילים a ו-b, ונקודה P ביניהם. מ-P יוצא קטע אל הנקודה A שעל a וקטע אל הנקודה B שעל b, ונוצרת צורה שבורה. הכלל: הזווית שב-P שווה לסכום שתי הזוויות שבין הקטעים לבין הישרים — הזווית שבין AP לבין a, והזווית שבין BP לבין b — בתנאי ששתיהן נמדדות בצד שבו נמצאת P.

הסיבה: מעבירים דרך P ישר עזר שמקביל ל-a ול-b. ישר העזר מחלק את הזווית שב-P לשני חלקים. החלק העליון שווה לזווית שליד a, כי שתיהן זוויות מתחלפות בין ישר העזר לבין a, והקטע AP הוא החותך. באותו אופן החלק התחתון שווה לזווית שליד b. לכן הזווית שב-P היא סכום שתיהן.

דוגמה: $a\parallel b$. הקטע AP יוצר עם הישר a זווית של 30°, והקטע BP יוצר עם הישר b זווית של 45°, ושתי הזוויות פונות לצד של P. ישר העזר דרך P מחלק את הזווית שב-P לחלק של 30° ולחלק של 45°, ולכן $\angle APB=30^{\circ }+45^{\circ }=75^{\circ }$.

משולשים עם בסיס משותף בין שני מקבילים

המרחק הקבוע בין מקבילים מוביל לעובדה שימושית על שטחים. שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה, חלקי 2. כשהבסיס של משולש מונח על ישר אחד והקודקוד השלישי שלו נמצא על ישר מקביל, הגובה לבסיס הוא בדיוק המרחק בין הישרים. לכן כל המשולשים שיש להם אותו בסיס על ישר אחד וקודקוד שלישי על הישר המקביל שווים בשטחם, גם כשהם נראים שונים לגמרי.

דוגמה: המרחק בין הישרים a ו-b הוא 5. הקטע DC שעל b אורכו 8, והנקודות E ו-F נמצאות על a. שטח המשולש DCE הוא $\frac{8\cdot 5}{2}=20$, וגם שטח המשולש DCF הוא 20 — בכל מקום שבו נמצאת F על a, גם כשהמשולש קהה-זווית והגובה שלו יוצא אל מחוץ לו.

הגובה של טרפז ושל מקבילית

בטרפז יש זוג אחד של צלעות מקבילות, הבסיסים, ובמקבילית יש שני זוגות. הגובה של טרפז הוא המרחק בין שני הבסיסים, ולכן אפשר להעביר אותו מכל נקודה על בסיס אחד אל הבסיס השני, ולא רק מקודקוד. שטח הטרפז הוא סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2. במקבילית, השטח הוא צלע כפול הגובה אליה, והגובה הזה הוא המרחק בין הצלע לבין הצלע שמולה.

דוגמה: בטרפז ABCD הבסיסים הם AB = 6 ו-DC = 10, והשוק AD אורכה 5. האנך מ-A פוגש את DC בנקודה שרחוקה 3 מ-D. במשולש ישר-הזווית שנוצר היתר הוא 5 וניצב אחד הוא 3, ולכן הניצב השני — הגובה — הוא 4, כי $3^2+4^2=5^2$. שטח הטרפז הוא $\frac{(6+10)\cdot 4}{2}=32$. אנך מ-B, או מכל נקודה אחרת על AB, יהיה גם הוא באורך 4.

במקבילית שצלעותיה 8 ו-5, כשהמרחק בין שתי הצלעות שאורכן 8 הוא 4, השטח הוא $8\cdot 4=32$. מכאן אפשר למצוא גם את הגובה השני, המרחק בין שתי הצלעות שאורכן 5: $32÷5=6.4$.