מושגים בפסיכומטרי: זוגי ואי-זוגי

זוגי ואי-זוגי: חוקי החישוב

את כל המספרים השלמים אפשר לחלק לשתי קבוצות: המספרים הזוגיים, שמתחלקים ב-2 בלי שארית, והמספרים האי-זוגיים, שאינם מתחלקים ב-2. ההגדרה חלה גם על מספרים שליליים: $-2$ הוא מספר זוגי, ו-$-17$ הוא מספר אי-זוגי.

ציר המספרים, אפס ושברים

על ציר המספרים הזוגיים והאי-זוגיים מתחלפים לסירוגין: כל מספר שני הוא זוגי, והמספר שאחריו אי-זוגי. גם 0 הוא מספר זוגי, כי 0 חלקי 2 שווה 0, וזה מספר שלם. שברים, לעומת זאת, אינם זוגיים ואינם אי-זוגיים: זוגיות מוגדרת רק למספרים שלמים.

הצבת מספרים

בשאלות זוגיות רבות הדרך המהירה היא להציב מספרים. במקום מספר זוגי נוח להציב 0, או 2 כשאפס אינו מתאים (למשל כשמחלקים במספר). במקום מספר אי-זוגי מציבים 1, או 3 כשצריך מספר נוסף. מחשבים את הביטוי עם המספרים שהוצבו ופוסלים כל תשובה שאינה מתאימה לתוצאה.

דוגמה: $n$ הוא מספר אי-זוגי. איזה מהביטויים $n+2$, $3n$ ו-$n^2+1$ הוא זוגי? מציבים $n=1$ ומקבלים $1+2=3$, $3\cdot 1=3$ ו-$1^2+1=2$. רק $n^2+1$ יצא זוגי. גם הכללים שבהמשך מאשרים זאת: $n^2$ אי-זוגי, ומספר אי-זוגי ועוד 1 הוא זוגי.

חיבור וחיסור

מבחינת זוגיות, חיבור וחיסור מתנהגים בדיוק אותו דבר: $a+b$ ו-$a-b$ הם תמיד זוגיים יחד או אי-זוגיים יחד.

• סכום או הפרש של שני מספרים זוגיים — זוגי.
• סכום או הפרש של שני מספרים אי-זוגיים — זוגי.
• סכום או הפרש של מספר זוגי ומספר אי-זוגי — אי-זוגי.

ההסבר: כל מספר אי-זוגי הוא מספר זוגי ועוד 1. בסכום של כמה מספרים, החלקים הזוגיים נותנים יחד מספר זוגי, ולכן הזוגיות נקבעת רק לפי מספר המחוברים האי-זוגיים. הכלל הכללי: סכום של מספרים שלמים הוא זוגי כאשר יש בו מספר זוגי של מחוברים אי-זוגיים, והוא אי-זוגי כאשר יש בו מספר אי-זוגי של מחוברים אי-זוגיים. המחוברים הזוגיים אינם משפיעים כלל, והכלל נכון גם כשחלק מהפעולות הן חיסור.

דוגמה: מהי הזוגיות של $7+4+9+2+5$? יש כאן שלושה מחוברים אי-זוגיים (7, 9 ו-5), ושלוש היא כמות אי-זוגית — לכן הסכום אי-זוגי. בדיקה: $7+4+9+2+5=27$, ו-27 אכן אי-זוגי.

כפל

מכפלה של מספרים שלמים היא אי-זוגית רק כאשר כל הגורמים אי-זוגיים. די בגורם זוגי אחד כדי שהמכפלה כולה תהיה זוגית, כי אז 2 הוא אחד מגורמיה.

• אי-זוגי כפול אי-זוגי — אי-זוגי.
• זוגי כפול כל מספר שלם — זוגי.

מכאן שתי מסקנות שחוזרות בשאלות. אם ידוע שהמכפלה $a\cdot b\cdot c\cdot d$ של מספרים שלמים היא אי-זוגית, אז כל אחד מהם אי-זוגי. אם ידוע שהמכפלה זוגית, אז לפחות אחד מהם זוגי — אבל אין לדעת איזה, וייתכן שיותר מאחד.

חזקות

חזקה עם מעריך שלם וחיובי היא כפל חוזר: $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$. לכן חזקה של מספר אי-זוגי היא מכפלה של מספרים אי-זוגיים בלבד, והיא אי-זוגית. חזקה של מספר זוגי כוללת את הגורם 2, והיא זוגית.

הכלל: כשהמעריך שלם וחיובי, הבסיס לבדו קובע את הזוגיות, והמעריך אינו משנה אותה. $7^{10}$ הוא אי-זוגי, $6^3$ הוא זוגי, ו-$n^5$ זוגי בדיוק כאשר $n$ זוגי.

במעריך שלילי התוצאה היא בדרך כלל שבר (למשל $2^{-1}=\frac{1}{2}$), ולכן שאלת הזוגיות אינה חלה עליה. בשאלות זוגיות המעריכים הם כמעט תמיד שלמים וחיוביים.

חילוק

בחילוק אין כלל פשוט כמו בכפל: המנה של שני מספרים שלמים יכולה להיות זוגית, אי-זוגית או שבר. המקרה שחוזר שוב ושוב הוא זה: מספר אי-זוגי חלקי מספר זוגי אינו מספר שלם. מספר אי-זוגי אינו מתחלק ב-2, ולכן אינו מתחלק בשום מספר זוגי. לדוגמה, $15÷6=2.5$.

ביטויים שחוזרים בשאלות

• $2x$ — כש-$x$ שלם, $2x$ תמיד זוגי, כי אחד מגורמיו הוא 2.
• $2x+1$ — תמיד אי-זוגי: מספר זוגי ועוד 1.
• $x+1$ — הזוגיות שלו הפוכה לזו של $x$.
• $x(x+1)$ — מכפלה של שני מספרים שלמים עוקבים. אחד מהם זוגי בהכרח, ולכן המכפלה תמיד זוגית. אותו הדבר נכון לביטוי הפתוח $x^2+x$.

מה אפשר להסיק מסכום או מהפרש

אם ידוע שהסכום או ההפרש של שני מספרים שלמים זוגי, שני המספרים מאותה זוגיות: שניהם זוגיים או שניהם אי-זוגיים. אם הסכום או ההפרש אי-זוגי, המספרים מזוגיות שונה: אחד זוגי והאחר אי-זוגי, ואין לדעת איזה מהם.

דוגמה: $x$ ו-$y$ הם מספרים שלמים, ו-$x+y$ אי-זוגי. אחד משני המספרים זוגי, ולכן המכפלה $xy$ זוגית בוודאות. גם $x-y$ אי-זוגי, כי חיסור מתנהג כמו חיבור. לעומת זאת, את הזוגיות של $x$ עצמו אי אפשר לקבוע מהנתון הזה.