מושגים בפסיכומטרי: מבוא לאלגברה: נעלמים, משוואות וסוגי מספרים

נעלמים ומשוואות

מהי אלגברה

בחשבון כל המספרים ידועים, והשאלה היא מה התוצאה: כמה זה $3\cdot 2$? מחשבים ומקבלים 6. באלגברה מופיע מספר שאינו ידוע, ומסמנים אותו באות — בדרך כלל $x$. המספר הלא ידוע נקרא נעלם, והמטרה היא לגלות את ערכו.

משוואה ושני האגפים

משוואה היא שוויון בין שני ביטויים. שני הצדדים של סימן השוויון נקראים אגפים, ובמשוואה הם שווים זה לזה. למשל, במשוואה $3x=6$ אגף אחד הוא $3x$ והאגף האחר הוא 6.

כדי למצוא את הנעלם מבודדים אותו: מבצעים פעולות עד שבאגף אחד נשאר רק $x$. הכלל היחיד הוא שכל פעולה שעושים באגף אחד עושים גם באגף השני — אותה פעולה, עם אותו מספר. כך השוויון נשמר. מותר לחבר, לחסר, לכפול ולחלק במספר שאינו 0, ובלבד שעושים זאת בשני האגפים.

פתרון משוואה

דוגמה: פותרים את המשוואה $3x=6$. באגף של הנעלם, $x$ מוכפל ב-3. כדי לבטל את הכפל מחלקים ב-3 — ומחלקים ב-3 גם את האגף השני: $\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}$, ולכן $x=2$.

דוגמה נוספת: פותרים את המשוואה $2x+5=17$. קודם מבטלים את החיבור: מחסרים 5 משני האגפים ומקבלים $2x=12$. אחר כך מבטלים את הכפל: מחלקים את שני האגפים ב-2 ומקבלים $x=6$. הסדר הפוך לסדר שבו נבנה הביטוי: קודם מבטלים חיבור וחיסור, ורק אחר כך כפל וחילוק.

בדיקה בהצבה

אחרי שמוצאים את הנעלם, מציבים אותו במשוואה המקורית ובודקים שהאגפים באמת שווים. במשוואה $2x+5=17$ מציבים $x=6$ ומקבלים $2\cdot 6+5=12+5=17$. שני האגפים שווים, ולכן הפתרון נכון. הבדיקה לוקחת שניות ותופסת טעויות בסימן או בחשבון.

הצבה משמשת גם בכיוון ההפוך: בשאלת רב-ברירה אפשר להציב במשוואה את התשובות המוצעות ולבדוק איזו מהן מקיימת אותה. לפעמים זו הדרך המהירה ביותר, ולפעמים הצבה של תשובה אחת מספיקה כדי לפסול כמה אחרות.

סוגי מספרים

בשאלות רבות לא צריך לדעת את ערכו המדויק של הנעלם — מספיק לדעת לאיזה סוג של מספרים הוא שייך: שלם או שבר, חיובי או שלילי, זוגי או אי-זוגי. כל חלוקה כזאת נלמדת לעומק בדף נפרד, וכאן מופיעה סקירה קצרה.

מספרים שלמים ושברים

מספרים שלמים הם 0, 1, 2, 3 וכן הלאה, וגם המספרים הנגדיים להם: $-1$, $-2$, $-3$ וכן הלאה. שברים הם מספרים שאינם שלמים, כמו $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ ו-$\frac{7}{8}$, או 1.72 בכתיב עשרוני, וגם הנגדיים להם, כמו $-\frac{1}{2}$.

כשיש שברים במשוואה, כדאי להיפטר מהם כבר בצעד הראשון: כופלים את שני האגפים במכנה ומקבלים משוואה עם מספרים שלמים בלבד. לדוגמה: במשוואה $\frac{x}{3}=4$ כופלים את שני האגפים ב-3 ומקבלים $x=12$.

מספרים חיוביים ושליליים

כל מספר שגדול מ-0 הוא חיובי, וכל מספר שקטן מ-0 הוא שלילי — בין שהוא שלם ובין שהוא שבר. המספר 0 עצמו אינו חיובי ואינו שלילי. הכללים של חיבור, כפל וחילוק עם מספרים שליליים מופיעים בדף על מספרים חיוביים ושליליים.

מספרים זוגיים ואי-זוגיים

המספרים השלמים מתחלקים לשני סוגים: זוגיים, שמתחלקים ב-2 בלי שארית, ואי-זוגיים, שאינם מתחלקים ב-2. על ציר המספרים הם מופיעים לסירוגין: 1 אי-זוגי, 2 זוגי, 3 אי-זוגי, 4 זוגי, וכן הלאה. גם 0 הוא מספר זוגי, כי $0÷2=0$ בלי שארית. גם המספרים השלמים השליליים הם זוגיים או אי-זוגיים: $-1$ ו-$-3$ אי-זוגיים, $-2$ ו-$-4$ זוגיים.

שבר, כמו $\frac{1}{2}$, אינו זוגי ואינו אי-זוגי — זוגיות מוגדרת רק למספרים שלמים. חוקי הזוגיות של חיבור וכפל מופיעים בדף על זוגי ואי-זוגי, ומספרים ראשוניים — סוג נוסף שחוזר בשאלות — מופיעים בדף על מספרים ראשוניים.