מושגים בפסיכומטרי: הוצאת גורם משותף: פירוק, צמצום ופתרון משוואות

הוצאת גורם משותף

הוצאת גורם משותף היא הפעולה ההפוכה לפתיחת סוגריים. בפתיחת סוגריים כופלים את מה שמחוץ לסוגריים בכל אחד מהאיברים שבתוכם: $4x(2x+3)=4x\cdot 2x+4x\cdot 3=8x^2+12x$. בהוצאת גורם משותף הולכים בכיוון ההפוך — מתחילים מסכום, כמו $8x^2+12x$, ומגיעים למכפלה, $4x(2x+3)$.

למה זה חשוב? כי מכפלה נוחה הרבה יותר מסכום: אפשר לצמצם אותה בשבר, אפשר להשוות אותה לאפס ולפתור משוואה, ולפעמים היא גם מקצרת חישוב ארוך של מספרים.

איך מוצאים את הגורם המשותף

הגורם המשותף הוא מה שמופיע בכל אחד מהאיברים ואפשר לחלק בו את כולם. מחפשים אותו בשני חלקים — המספרים והמשתנים — ורוצים להוציא את הגורם הגדול ביותר האפשרי:

המספרים: מחפשים את המספר הגדול ביותר שכל המקדמים מתחלקים בו. נוח להתחיל מהמקדם הקטן ביותר ולבדוק את מחלקיו מהגדול לקטן.

המשתנים: משתנה נכנס לגורם המשותף רק אם הוא מופיע בכל האיברים, ובחזקה הנמוכה ביותר שלו מביניהם. אם באיבר אחד יש $x^3$ ובאחר $x$, אפשר להוציא רק $x$.

אחרי שכותבים את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים, מחלקים בו כל איבר, ומה שנשאר נכתב בתוך הסוגריים.

דוגמה מלאה

דוגמה: מוציאים גורם משותף מהביטוי $8x^2+12x$.

המספרים הם 8 ו-12. מתחילים מ-8 ובודקים את מחלקיו: 12 אינו מתחלק ב-8, אבל שניהם מתחלקים ב-4. לכן הגורם המספרי הוא 4. נכון שהם מתחלקים גם ב-2, אבל 4 גדול יותר, ומוציאים את הגדול ביותר.

המשתנים הם $x^2$ ו-$x$. החזקה הנמוכה היא $x$, ולכן מוציאים $x$. הגורם המשותף כולו הוא $4x$.

עכשיו מחלקים כל איבר ב-$4x$: מהאיבר $8x^2$ נשאר $2x$, ומהאיבר $12x$ נשאר 3. התוצאה: $8x^2+12x=4x(2x+3)$.

בדיקה: פותחים את הסוגריים וצריכים לחזור בדיוק לביטוי המקורי: $4x\cdot 2x=8x^2$ ו-$4x\cdot 3=12x$. הבדיקה לוקחת כמה שניות, וכדאי לעשות אותה בכל פעם.

דוגמה נוספת, עם שני משתנים: $6a^3{b}^2-9a^2{b}^4$. המספר הגדול ביותר שמחלק את 6 ואת 9 הוא 3. המשתנה a מופיע בחזקות 3 ו-2, ולכן מוציאים $a^2$; המשתנה b מופיע בחזקות 2 ו-4, ולכן מוציאים $b^2$. מקבלים $6a^3{b}^2-9a^2{b}^4=3a^2{b}^2(2a-3b^2)$.

כשאיבר שלם יוצא החוצה נשאר ממנו 1, לא 0: $5x+5=5(x+1)$, וגם $x^2+x=x(x+1)$. בדיקה בפתיחת סוגריים מגלה מיד אם ה-1 נשכח.

גורם משותף שלילי

אפשר להוציא גם גורם שלילי. כשעושים זאת, כל הסימנים בתוך הסוגריים מתהפכים, כי מחלקים כל איבר במספר שלילי: $-6x-9=-3(2x+3)$, וגם $-4x^2+8x=-4x(x-2)$.

הוצאת מינוס שימושית בעיקר כשרוצים שהאיבר הראשון בסוגריים יהיה חיובי, או כשהסוגריים צריכים להיראות כמו סוגריים שכבר מופיעים במקום אחר בתרגיל. למשל $3-x=-(x-3)$ — ואז את הביטוי $\frac{3-x}{x-3}$ אפשר לצמצם, והוא שווה $-1$.

הוצאת גורם משותף לפני צמצום שבר

שבר מצמצמים רק כשבמונה ובמכנה יש מכפלות. כשבמונה או במכנה יש חיבור או חיסור, אי אפשר לצמצם איבר בודד. למשל $\frac{x+6}{3}$ אינו שווה $x+2$, כי ה-3 במכנה מחלק את כל המונה ולא רק את ה-6. לכן קודם מוציאים גורם משותף, ורק אחר כך מצמצמים.

דוגמה: $\frac{6x+9}{2x+3}=\frac{3(2x+3)}{2x+3}=3$, כאשר $2x+3\ne 0$. דוגמה נוספת: $\frac{x^2+3x}{x+3}=\frac{x(x+3)}{x+3}=x$, כאשר $x\ne -3$.

גם כשהמכנה הוא מספר בודד, מחלקים בו את כל איברי המונה: $\frac{5a+10b}{5}=a+2b$.

הוצאת גורם משותף בחישוב מספרים

גם בלי משתנים, גורם משותף יכול לקצר חישוב. $8\cdot 22+8\cdot 28$ נראה כמו שני תרגילי כפל, אבל 8 מופיע בשניהם: $8\cdot 22+8\cdot 28=8(22+28)=8\cdot 50=400$.

באותו אופן $37\cdot 13-37\cdot 3=37(13-3)=37\cdot 10=370$. בפרק הכמותי אין מחשבון, ולכן כדאי לחפש מספר שחוזר בכמה מכפלות לפני שמתחילים לחשב כל אחת מהן בנפרד.

הוצאת גורם משותף בפתרון משוואה

מכפלה שווה לאפס רק אם לפחות אחד הגורמים שלה שווה לאפס. לכן משוואה שאפשר להביא לצורה של מכפלה השווה לאפס נפתרת בקלות.

דוגמה: פותרים את המשוואה $x^2=5x$. מעבירים הכול לאגף אחד: $x^2-5x=0$. מוציאים גורם משותף: $x(x-5)=0$. לכן $x=0$ או $x-5=0$, כלומר $x=0$ או $x=5$.

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק את שני האגפים ב-$x$ ולקבל רק $x=5$. חילוק במשתנה מותר רק כשידוע שהוא אינו אפס — וכאן אפס הוא בדיוק אחד הפתרונות. הוצאת גורם משותף שומרת על שני הפתרונות.

גורם משותף של חזקות

כשמחברים או מחסרים חזקות של אותו בסיס, מוציאים את החזקה הקטנה כגורם משותף. דוגמה: $2^{10}+2^8=2^8(2^2+1)=2^8\cdot 5$. בתוך הסוגריים נשאר $2^2$, כי $2^8\cdot 2^2=2^{10}$.

עוד דוגמה: $3^5-3^3=3^3(3^2-1)=27\cdot 8=216$, ואכן $243-27=216$. אותו רעיון עובד גם עם מעריך לא ידוע: $5^{n+1}+5^n=5^n(5+1)=6\cdot 5^n$.

חשוב לזכור ש-$2^{10}+2^8$ אינו $2^{18}$: מחברים מעריכים רק בכפל של חזקות, לא בחיבור שלהן.