מושגים בפסיכומטרי: נוסחאות כפל מקוצר

מושגים בפסיכומטרי · חשיבה כמותית

נוסחאות כפל מקוצר בפסיכומטרי — המדריך המלא

הסבר מלא בכתב, צעד אחר צעד, בשיטת ההוראה של זינוק: מה זה, איך פותרים, איפה זה מופיע בבחינה, הטעויות שכולם עושים — ושאלות לתרגול עם פתרון.

⏱ קריאה: כ-3 דק' 2 פרקים 3 שאלות לתרגול ▶ 6 סרטוני הסבר זמן לימוד מומלץ: 1–2 שעות

לתרגול נוסחאות כפל מקוצר

סרטון פתיחה

נוסחאות כפל מקוצר ב-8 דקות: ההסבר של זינוק בווידאו

המורים של זינוק מסבירים את הרעיון מאפס. אחרי הסרטון, המשיכו לפרקים המפורטים למטה — ולסרטונים הקצרים בכל פרק.

**נוסחאות הכפל המקוצר: מתי ולמה משתמשים בהן**

בקצרה

נוסחאות כפל מקוצר ב-6 משפטים

נוסחאות הכפל המקוצר הן שלוש זהויות שמאפשרות לפתוח סוגריים בחזקה — או לסגור אותם בחזרה — בשורה אחת במקום בארבעה שלבים.
הזיהוי פשוט: חזקה שנייה על סוגריים שיש בתוכם חיבור או חיסור, או מכפלה של שני סוגריים זהים שביניהם רק הסימן שונה.
הטעות הנפוצה ביותר בנושא היא לפתוח (a+b)² ל-a²+b². החזקה אינה "מתחלקת" על חיבור — היא מתחלקת רק על כפל וחילוק.
שלוש הנוסחאות בנויות אותו דבר: הקצוות הם שני הנעלמים בריבוע, והאמצע הוא 2ab עם הסימן של הסוגריים — למעט הנוסחה השלישית, שבה האמצע מתבטל ונשאר רק הפרש ריבועים.
בפסיכומטרי הכיוון ההפוך חשוב לא פחות: לראות x²−9 ולזהות מיד (x−3)(x+3), או לראות a²−b² ולזהות (a−b)(a+b). זה הקיצור שהופך שאלה של דקה לשאלה של עשר שניות.
הנוסחאות מופיעות בדף הנוסחאות של הבחינה, ולכן אין צורך לשנן אותן. מה שכן צריך לתרגל הוא הזיהוי המהיר — לדעת שהשאלה הזו היא שאלת כפל מקוצר.

ההקשר לבחינה

נוסחאות כפל מקוצר בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת

פרקי חשיבה כמותית

נספרים לציון (בנוסף לפרק ניסיוני אחד שאינו נכלל בציון)

20 דק'

זמן לפרק

כ-20 שאלות בפרק — כדקה לשאלה, אין זמן לחישובים ארוכים

50%

משקל הכמותי בציון

במתכונת הדו־תחומית מדצמבר 2026; 75% בציון בדגש כמותי

אסור

מחשבון

מותר רק כהתאמה מאושרת — לכן כל החישובים נעשים ביד

איפה נוסחאות כפל מקוצר מתחבאים בשאלות

פישוט ביטויים. ביטוי שנראה מפחיד מצטמצם לשורה אחת ברגע שמזהים בו הפרש ריבועים — למשל (x²−9)/(x−3).
השוואה כמותית. שני טורים שנראים שונים לגמרי ולמעשה שווים, מפני שאחד מהם כתוב פתוח והשני כתוב סגור.
מערכת משוואות עם זהויות. נתון a+b ונתון ab, ומבקשים a²+b². אין צורך למצוא את a ואת b בנפרד — הנוסחה נותנת את התשובה ישירות.
שאלות שורש וחזקה. ביטוי תחת שורש שמתפרק לריבוע שלם, או מכפלה של שני מספרים סימטריים סביב מספר עגול (כמו 98×102).

כ-8%–12%

מהשאלות בפרק הכמותי נפתרות מהר יותר בעזרת אחת משלוש נוסחאות הכפל המקוצר, בדרך כלל כשלב בתוך שאלת אלגברה ולא כשאלה עצמאית. הפרש ריבועים הוא הנפוץ מבין השלושה.

פישוט ביטויים והפרש ריבועיםכ-4%–6%
זהויות במערכת משוואותכ-2%–4%
קיצור חישוב מספרי (98×102 וכדומה)כ-1%–2%

אומדן צוות ההוראה של זינוק · אומדן צוות ההוראה של זינוק, על בסיס ניתוח בחינות לדוגמה שפורסמו לציבור. המרכז הארצי לבחינות ולהערכה אינו מפרסם התפלגות נושאים רשמית; הנתון הוא הערכה ועשוי להשתנות ממועד למועד.

במאגר התרגול הציבורי של זינוק: 20 שאלות אלגברה קל 7 · בינוני 10 · קשה 3 נושאים חוזרים: משוואה ריבועית, הפרש ריבועים, משוואה לינארית, אי-שוויון

העובדות על מבנה הבחינה מבוססות על פרסומי המרכז הארצי לבחינות ולהערכה, כפי שמסוכמים בעמוד מבנה הבחינה של זינוק. האומדן הוא הערכה של צוות ההוראה ואינו נתון רשמי.

1שלוש הנוסחאות — ומה הן חוסכות

איך מזהים שאלה של כפל מקוצר, מה כל נוסחה אומרת, ולמה אי אפשר פשוט "לחלק" את החזקה על הסוגריים.

מה רואים בשאלה	האם זה כפל מקוצר	למה
חזקה שנייה על סוגריים עם חיבור או חיסור	כן	זה בדיוק המבנה של הנוסחה הראשונה או השנייה
מכפלה של שני סוגריים זהים שרק הסימן ביניהם שונה	כן	זה המבנה של הנוסחה השלישית — הפרש ריבועים
ביטוי בצורה a²−b² (שני ריבועים עם מינוס)	כן, בכיוון ההפוך	אפשר לסגור אותו מיד ל-(a−b)(a+b)
חזקה שנייה על מכפלה או על מנה	לא	כאן החזקה באמת מגיעה לכל גורם בנפרד, בלי נוסחה
ביטוי בצורה a²+b² (שני ריבועים עם פלוס)	לא	סכום ריבועים אינו מתפרק לגורמים — זו מלכודת נפוצה

שלב הזיהוי הוא כל העבודה. ברגע שברור שמדובר בכפל מקוצר, ההצבה בנוסחה לוקחת שניות.

שלוש נוסחאות הכפל המקוצר

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} - הנוסחה הראשונה (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} - הנוסחה השלייה (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} -

הנוסחה	שם מקובל	הכיוון השימושי בבחינה
(a+b)² = a² + 2ab + b²	ריבוע של סכום	בדרך כלל פותחים — מסוגריים לביטוי מפורש
(a−b)² = a² − 2ab + b²	ריבוע של הפרש	זהה לקודמת, רק שהאמצע מקבל מינוס
(a+b)(a−b) = a² − b²	הפרש ריבועים	בדרך כלל סוגרים — מביטוי מפורש חזרה לסוגריים

שלוש הנוסחאות מופיעות בדף הנוסחאות של הבחינה. מה שדף הנוסחאות לא נותן הוא הזיהוי — ובו כדאי להשקיע את התרגול.

למה (a+b)² אינו a²+b²
חזקה היא קיצור לכפל: (a+b)² פירושו (a+b)(a+b), ולא a·a + b·b.
פותחים את הסוגריים במלואם
כל איבר בסוגריים הראשונים מוכפל בכל איבר בשניים: a·a, ואז a·b, ואז b·a, ואז b·b.
מסדרים
מקבלים a² + ab + ba + b². שני האמצעיים זהים, ולכן הם מתאחדים ל-2ab.
התוצאה
a² + 2ab + b². האיבר האמצעי הוא בדיוק מה שנעלם כשכותבים בטעות a²+b².
בדיקה מספרית בשתי שניות
נציב a=3 ו-b=4. הצד השמאלי: (3+4)²=49. הניסוח השגוי נותן 9+16=25. הנוסחה הנכונה נותנת 9+24+16=49.

אם אי פעם יש ספק אם פתחתם נכון — הצבת שני מספרים קטנים מכריעה מיד, והיא לוקחת פחות זמן מאשר לנחש.

▶ בווידאו: שלוש הנוסחאות — ומה הן חוסכות

**כפל מקוצר עם מינוס לפני הסוגריים: תרגיל פתור** לשיעור המלא ←

**הפרש ריבועים בשאלה עם שני נעלמים: תרגיל פתור** לשיעור המלא ←

2איך זוכרים אותן, ואיך משתמשים בשני הכיוונים

הקצוות והאמצע — מבנה אחד שמסביר את שלוש הנוסחאות, וזיהוי בכיוון ההפוך: מביטוי פתוח חזרה לסוגריים.

הנוסחה	הקצוות	האמצע	מה קובע את הסימן
(a+b)²	a² ו-b²	2ab, בפלוס	הסימן שבתוך הסוגריים
(a−b)²	a² ו-b²	2ab, במינוס	הסימן שבתוך הסוגריים
(a+b)(a−b)	a² ו-b², במינוס ביניהם	אין אמצע	האמצע מתבטל: +ab ו-−ab מבטלים זה את זה

הקצוות זהים בשלוש הנוסחאות — תמיד שני הנעלמים בריבוע. ההבדל היחיד הוא מה קורה באמצע, ובשלישית האמצע פשוט נעלם.

הקצוות, האמצע, והדרך חזרה

כדי לזכור מה יוצא מכל נוסחה, נפרק אותן כך
נוסחה ראשונה- $(a + b)^{2}$
בקצוות: החזקה תגיע לכל אחד מהנעלמים, נכתוב את זה בקצוות $(a + b)^{2} = a^{2} \dots . + b^{2} -$ באמצע: נכפיל את שני הנעלמים ב-2, נקבל $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

כשנעשה רוורס- כשיתנו לנו את הנוסחה פתוחה, ונרצה להחזיר אותה למקור, נבדוק את הקצוות. הקצוות יגידו מי היו הנעלמים. ואז האמצע יגיד מה היה בין שניהם.
הקצוות- $x^{2}$ אומר שהיה לנו פעם $x$ - ו- $y^{2}$ אומר שהיה לנו פעם y. האמצע- 2xy- המינוס אומר שהיה בינהם פעם מינוס. נקבל-

מסתכלים על הקצוות
האם שני הקצוות הם ריבועים? x² ו-25 הם ריבועים של x ושל 5.
בודקים את הסימן בין הקצוות
מינוס בין שני ריבועים פירושו הפרש ריבועים, והתשובה היא (x−5)(x+5).
אם יש איבר אמצעי, בודקים אותו
x² + 10x + 25: הקצוות הם x ו-5, והאמצע צריך להיות 2·x·5 = 10x. הוא אכן כזה, ולכן זה (x+5)².
אם האמצע לא מתאים — זה לא כפל מקוצר
x² + 7x + 25 אינו ריבוע שלם, כי 2·x·5 הוא 10x ולא 7x. כאן נדרשת דרך אחרת.
מוודאים בהצבה
הצבת מספר אחד בשני הצדדים מאשרת שהסגירה נכונה.

זהו הכיוון שמופיע בפסיכומטרי לעיתים קרובות יותר: הביטוי כבר פתוח, והחיסכון בזמן נמצא בזיהוי שאפשר לסגור אותו.

התרגיל	הזיהוי	הפתרון המהיר
98 × 102	(100−2)(100+2)	10,000 − 4 = 9,996
(x²−16)/(x+4)	המונה הוא הפרש ריבועים	(x−4)(x+4)/(x+4) = x−4
נתון a+b=7 ו-ab=12; מהו a²+b²	(a+b)² = a²+2ab+b²	49 − 2·12 = 25
a²−b²=21 ו-a+b=7; מהו a−b	a²−b² = (a+b)(a−b)	21 ÷ 7 = 3
√(x²+6x+9)	הביטוי הוא (x+3)²	\|x+3\|

בכל אחת מהשורות האלה הדרך "הישרה" אפשרית אך ארוכה בהרבה. בפרק של עשרים דקות זה ההבדל בין לסיים לבין לא להספיק.

▶ בווידאו: איך זוכרים אותן, ואיך משתמשים בשני הכיוונים

**מהביטוי הפתוח חזרה לסוגריים: תרגול ברצף** לשיעור המלא ←

**הנוסחה השלישית (הפרש ריבועים): תרגיל פתור** לשיעור המלא ←

**כפל מקוצר בציור: מאיפה באה הנוסחה של (a+b)²**

שימו לב

הטעויות הנפוצות בנוסחאות כפל מקוצר — ואיך נמנעים מהן

"חלוקת" החזקה על חיבור

(a+b)² = a² + b²

(a+b)² = a² + 2ab + b²

חזקה מתפלגת על כפל ועל חילוק בלבד. על חיבור וחיסור היא לא מתפלגת, ולכן צריך לפתוח את המכפלה במלואה — ומשם מגיע האיבר 2ab.

סימן שגוי באיבר האחרון

(a−b)² = a² − 2ab − b²

(a−b)² = a² − 2ab + b²

האיבר האחרון הוא (−b) בריבוע, וריבוע של מספר שלילי הוא חיובי. רק האיבר האמצעי נשאר במינוס.

ניסיון לפרק סכום ריבועים

a² + b² = (a+b)(a−b)

a² + b² אינו מתפרק לגורמים

רק הפרש ריבועים מתפרק. (a+b)(a−b) שווה a²−b². סכום ריבועים הוא מלכודת קבועה במסיחים.

שכחת האיבר האמצעי בכיוון ההפוך

x² + 9 = (x+3)²

(x+3)² = x² + 6x + 9

ריבוע שלם חייב שלושה איברים. אם באמצע אין 2·x·3, הביטוי אינו ריבוע של סכום.

בלבול בין הקצוות לבין האמצע

(2x+3)² = 2x² + 12x + 9

(2x+3)² = 4x² + 12x + 9

הקצה הוא (2x) בריבוע — כלומר 4x², ולא 2x². כשיש מקדם, הוא עולה בריבוע יחד עם הנעלם.

שימוש בנוסחה כשהסוגריים אינם זהים

(x+3)(x−5) = x² − 15

(x+3)(x−5) = x² − 2x − 15

הפרש ריבועים דורש שאותם שני איברים בדיוק יופיעו בשני הסוגריים, ורק הסימן ביניהם ישתנה. כאן 3 ו-5 שונים, ולכן פותחים רגיל.

תרגול

שאלות לדוגמה על נוסחאות כפל מקוצר — עם פתרון מלא

שאלות מתוך מאגר התרגול של זינוק, בסגנון הבחינה. סמנו את התשובה שנראית לכם נכונה — ותקבלו מיד משוב ופתרון מלא.

שאלה 1 מתוך 3קל

פרק לגורמים:

x^{2} - 16

הצג פתרון

התשובה הנכונה: א

הזיהוי כאן הוא חצי מהעבודה. ראית הפרש של שני ריבועים — קפוץ ישר לזהות הקסם.

הזהות:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

.

1. **זהה את

a

ו-

b

**:

x^{2}

הוא

a^{2}

, אז

a = x

. ו-

16 = 4^{2}

, אז

b = 4

.
2. החל את הזהות:

x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)

.

תאמין או לא — זה כל הסיפור. שני שלבים.

המלכודת הקלאסית: לכתוב

(x - 4)^{2}

או

(x + 4)^{2}

. אלה ריבועי סכום/הפרש, לא הפרש ריבועים. בריבוע סכום יש איבר אמצעי

2 ab

— כאן אין

\pm 8 x

, אז זה לא ריבוע מושלם.

שנן את הריבועים השלמים: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. כשאתה רואה אחד מהם פחות

x^{2}

— מיד הפרש ריבועים.

שאלה 2 מתוך 3בינוני

פרק לגורמים:

x^{2} + 6 x + 9

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ד

טריק לזיהוי מהיר: כשיש

x^{2}

+ מספר + מספר, בדוק אם זה ריבוע מושלם של סכום.

הזהות:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

.

1. זהה את הקצוות:

x^{2}

הוא

a^{2}

, אז

a = x

9 = 3^{2}

, אז

b = 3

.
2. בדוק את האמצע:

2 ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6 x

. ויש לנו

+ 6 x

— מסתדר!
3. כתוב את הריבוע:

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

.

המלכודת הקלאסית: לפרק כמו ויאטה ולחפש 'מכפלה 9, סכום 6'. אפשרי — תקבל

(x + 3) (x + 3) = (x + 3)^{2}

. אותה תשובה. אבל אם תזהה את התבנית ישר, חסכת זמן.

תזכור את התבחין: ריבוע מושלם = ריבועי קצוות + פעמיים מכפלה. אם האמצע לא בדיוק

2 ab

— זה לא ריבוע מושלם, וצריך לפרק רגיל.

שאלה 3 מתוך 3בינוני

כמה שווה

(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ב

המוח רוצה לפתוח את שני הסוגריים ולחשב. אפשר — אבל יש קיצור דרך אלגנטי שאף אחד לא יכול להתעלם ממנו.

טריק: זוהי הפרש ריבועים בצורה

A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)

, כאשר

A = x + 2

ו-

B = x - 2

.

1. **חשב

A - B

**:

(x + 2) - (x - 2) = 4

.
2. **חשב

A + B

**:

(x + 2) + (x - 2) = 2 x

.
3. כפול:

(A - B) (A + B) = 4 \cdot 2 x = 8 x

.

תאמין או לא — שלוש שורות. בלי לפתוח ריבוע אחד.

המסלול המשעמם (פתיחה ידנית):

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4

. הפרש:

8 x

. אותה תשובה, יותר עבודה.

המלכודת הקלאסית: שגיאת סימן בפתיחת

(x - 2)^{2}

— מקבלים

x^{2} - 2 x + 2

במקום

x^{2} - 4 x + 4

. גם הזהות הסימטרית

4 ab

חוסכת מטעות זו — תזכור אותה.

מתרגלים את הנושא

עכשיו תורכם: לתרגל נוסחאות כפל מקוצר

ההסבר נגמר — עכשיו בודקים שזה באמת יושב. חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון, ולכל שאלה יש פתרון מלא.

תרגול אלגברה20 שאלות עם פתרון מלא ומפורט — בעמוד התרגול הכמותי. לתרגולים באתרכל הנושאים בחשיבה מילולית ובחשיבה כמותית. מבחן לדוגמה במבנה החדשסימולציה מלאה עם טיימר — לבדוק איפה אתם עומדים.

חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון. השאלות נכתבו על ידי צוות ההוראה של זינוק.

שאלות נפוצות

מה תלמידים שואלים על נוסחאות כפל מקוצר

צריך לשנן את שלוש הנוסחאות?

לא חובה — הן מופיעות בדף הנוסחאות המצורף לבחינה. אבל מי שמכיר אותן בעל פה חוסך את הזמן של החיפוש בדף, וחשוב מכך — מזהה מהר יותר שהשאלה בכלל שייכת לנושא הזה. הזיהוי הוא מה שלא כתוב בדף הנוסחאות.

מתי כדאי לפתוח סוגריים ומתי לסגור אותם?

הכלל המעשי: בוחנים לאן מוביל הפישוט. אם הביטוי פתוח ואפשר לסגור אותו לכדי מכפלה שמצטמצמת — סוגרים. אם הביטוי סגור ונדרש לחבר אותו לביטוי אחר או להשוות למשהו פתוח — פותחים. בפסיכומטרי הכיוון הסוגר נפוץ יותר, כי הוא זה שחוסך חישוב.

למה (a+b)² אינו a²+b²? זה נראה הגיוני

זה נראה הגיוני מפני שכך מתנהגות חזקות מעל כפל: (ab)² באמת שווה a²b². אבל חיבור שונה. הצבה של שני מספרים מבהירה זאת מיד: (2+3)² הוא 25, ואילו 4+9 הוא 13. הפער ביניהם, 12, הוא בדיוק האיבר 2ab.

איך מזהים הפרש ריבועים כשהמספרים לא "יפים"?

בודקים אם שני האיברים הם ריבועים של משהו, גם אם לא של מספר שלם. למשל x²−7 הוא הפרש ריבועים עם שורש 7, ו-4x²−9 הוא (2x−3)(2x+3). אם אחד האיברים אינו ריבוע ואינו מתפרק לריבוע, זה פשוט לא הפרש ריבועים.

מה עושים עם (a+b+c)²?

הנוסחה המוכרת חלה על שני איברים. עם שלושה איברים אפשר לקבץ שניים מהם יחד — למשל ((a+b)+c)² — ולהפעיל את הנוסחה פעמיים. בפסיכומטרי המצב הזה נדיר, וכמעט תמיד אפשר להציב מספרים במקום לפתוח.

האם הנוסחאות עוזרות גם בחישוב מספרי בלי נעלמים?

כן, ולעיתים זה החיסכון הגדול ביותר. 98×102 הוא (100−2)(100+2), כלומר 10,000−4. 51² הוא (50+1)², כלומר 2,500+100+1. כל חישוב שבו המספרים סימטריים סביב מספר עגול הוא מועמד לקיצור הזה.

הצעד הבא

רוצים להבין ככה כל נושא בפסיכומטרי?

קורס ההכנה לפסיכומטרי של זינוק מלמד את ההיגיון שמאחורי כל נושא — עם ליווי אישי, מאגר תרגול ענק והתחייבות לציון. יש גם מסלול ללקויי למידה וליווי בהקלות בבחינה.

מבחן ניסיון חינם

ליווי אישימורים שמלווים אתכם לאורך הדרך
מאגר תרגולשאלות עם פתרון מלא, בסגנון הבחינה
התחייבות לציוןלפי תנאי הקורס

מבוסס על חוברת הקורס של זינוקכל השאלות, האיורים והסרטונים בעמוד הם תוכן מקורי של זינוקעודכן 21.9.2026

מושגים בפסיכומטרי: נוסחאות כפל מקוצר

נוסחאות כפל מקוצר ב-8 דקות: ההסבר של זינוק בווידאו

נוסחאות כפל מקוצר ב-6 משפטים