מושגים בפסיכומטרי: אחוזים: חישוב, שינוי באחוזים ומציאת השלם

אחוז: חלק מתוך 100

אחוז הוא חלק מתוך שלם, והסימן % פירושו ״חלקי 100״. לכן 30% הם 30 חלקים מתוך 100, כלומר $\frac{30}{100}$. אחוז לעולם אינו עומד לבדו: הוא תמיד אחוז מתוך כמות מסוימת, שנקראת השלם.

משום כך אי אפשר לדעת אם 25% גדולים מ-50% בלי לדעת ממה לוקחים אותם: 25% מ-400 הם 100, ואילו 50% מ-40 הם רק 20. בכל שאלת אחוזים בודקים קודם כול מהו השלם. המילים ״מ-״, ״מתוך״ ו״של״ שבאות אחרי האחוז מצביעות עליו.

דוגמה: במשפט ״35% מהתלמידים בשכבה בחרו במגמת מדעים״ השלם הוא מספר התלמידים בשכבה, ולא מספר התלמידים במגמה. כדי להפוך אחוז לשבר מחלקים אותו ב-100, למשל:

חישוב אחוז ממספר

המילה ״מ-״ או ״של״ בין אחוז למספר פירושה כפל. לכן 60% מ-30 הם $\frac{60}{100}\cdot 30$. כדי לחשב מהר מצמצמים את ה-100 שבמכנה: מוחקים שני אפסים מהמספרים שבמונה — כאן אפס אחד מ-60 ואפס אחד מ-30 — וכופלים את מה שנשאר.

$\frac{60\cdot 30}{100}=6\cdot 3=18$. כלומר, 60% מ-30 הם 18.

אין חשיבות מאיזה מספר מוחקים את האפסים. 7% מ-200 הם $7\cdot 2=14$ (שני האפסים נמחקו מ-200), ו-20% מ-300 הם $2\cdot 30=60$ (אפס אחד מכל מספר). כשאין אפסים למחוק, הופכים את האחוז למספר עשרוני: 40% מ-15 הם $0.4\cdot 15=6$.

אחוזים נפוצים כשברים

כמה אחוזים חוזרים שוב ושוב, וכדאי להכיר אותם כשברים: 100% הם השלם כולו, 50% הם חצי, 25% הם רבע ו-75% הם שלושה רבעים. 12.5% הם חצי מ-25%, כלומר חצי מרבע — שמינית. מי שמכיר את השברים האלה מחשב, למשל, 75% מ-40 בלי כפל ארוך: רבע מ-40 הוא 10, ולכן שלושה רבעים הם 30.

קיצורי דרך בחישוב אחוזים

החלפת הסדר

חישוב אחוז ממספר הוא כפל, ובכפל אין חשיבות לסדר. לכן x% מ-y שווים תמיד ל-y% מ-x: $\frac{x}{100}\cdot y=\frac{y}{100}\cdot x$. למשל, 60% מ-30 ו-30% מ-60 שווים שניהם 18. כשכיוון אחד קשה לחישוב, כדאי לבדוק את הכיוון השני.

דוגמה: כמה הם 16% מ-25?

חישוב ישיר של 16% מ-25 אינו נוח. מחליפים את הסדר ושואלים כמה הם 25% מ-16.

25% הם רבע, ורבע מ-16 הוא 4. לכן גם 16% מ-25 הם 4. באותו אופן 12% מ-50 שווים ל-50% מ-12, כלומר 6, ו-32% מ-25 שווים לרבע מ-32, כלומר 8.

חישוב דרך 10%

10% ממספר הם עשירית ממנו, ולכן החישוב מיידי: מזיזים את הנקודה העשרונית מקום אחד שמאלה. 10% מ-520 הם 52, 10% מ-47 הם 4.7, ו-10% מ-3.6 הם 0.36.

מ-10% בונים כמעט כל אחוז אחר: 20% הם פי 2 מ-10%, 30% הם פי 3, ו-5% הם חצי מ-10%. דוגמה: כמה הם 35% מ-60? 10% מ-60 הם 6, לכן 30% הם 18, ו-5% הם 3. יחד: $18+3=21$.

שינוי באחוזים ומציאת השלם

עלייה וירידה באחוזים

עלייה של 20% פירושה שהערך החדש הוא 120% מהמקורי, כלומר המקורי כפול 1.2. ירידה של 20% פירושה שנשארים 80%, כלומר המקורי כפול 0.8. במקום לחשב את השינוי ולהוסיף או להחסיר אותו, כופלים ישירות במכפיל: מחיר של 150 שקלים שעלה ב-20% הוא $150\cdot 1.2=180$ שקלים, ואחרי ירידה של 20% הוא $150\cdot 0.8=120$ שקלים.

שינויים רצופים אינם מתחברים. כל שינוי מחושב מהערך שנוצר אחרי השינוי הקודם, ולכן כופלים את המכפילים. עלייה של 10% ואחריה ירידה של 10% נותנות $1.1\cdot 0.9=0.99$ — ירידה כוללת של 1%, ולא חזרה לערך המקורי. באותו אופן שתי עליות של 10% הן $1.1\cdot 1.1=1.21$, כלומר עלייה של 21% ולא של 20%.

אחוז השינוי מחושב ביחס לערך המקורי: מחלקים את השינוי בערך שממנו התחילו. מחיר שעלה מ-80 ל-100 עלה ב-$\frac{20}{80}=25\%$, ואילו מחיר שירד מ-100 ל-80 ירד ב-$\frac{20}{100}=20\%$. אותו הפרש של 20 הוא אחוז שונה, כי הבסיס שונה.

מציאת השלם מתוך ערך בפועל

בחלק מהשאלות השלם הוא הנעלם: נתון אחוז, ונתון כמה האחוז הזה שווה בפועל. מילים כמו ״מהווים״, ״שווים ל-״ ו״הם״ מסמנות את הקשר הזה. את השלם — ה-100% — מוצאים בטבלה קטנה של שתי עמודות: בעמודה אחת האחוזים, ובעמודה השנייה הערך בפועל. כל פעולה שעושים בעמודה אחת עושים גם בשנייה.

דוגמה: 20% מהתלמידים בכיתה הם 8 תלמידים. כמה תלמידים בכיתה? כותבים בשורה אחת 20% מול 8. כדי להגיע מ-20% ל-100% כופלים פי 5, ולכן גם את הערך בפועל כופלים פי 5: $8\cdot 5=40$. בכיתה 40 תלמידים.

לפעמים נוח יותר לעבוד לרוחב הטבלה. דוגמה: 8% מהתלמידים בבית הספר הם 16 תלמידים. קשה להגיע מ-8% ל-100% בכפל נוח, אבל בשורה הזאת הערך בפועל גדול פי 2 מהאחוז. היחס הזה נשמר בכל שורה, ולכן ל-100% מתאימים $100\cdot 2=200$ תלמידים.

הדרך הכללית, שעובדת גם כשהמספרים אינם נוחים, היא לחלק את הערך בפועל באחוז כשבר: $16÷\frac{8}{100}=\frac{16\cdot 100}{8}=200$.

מציאת הערך המקורי אחרי שינוי

כשנתון הערך אחרי שינוי באחוזים ומבקשים את הערך המקורי, מחלקים במכפיל. דוגמה: אחרי הנחה של 25% מחירו של מוצר הוא 150 שקלים. המחיר אחרי ההנחה הוא 75% מהמקורי, כלומר המקורי כפול 0.75. לכן המחיר המקורי הוא $150÷0.75=200$ שקלים. בדיקה: 25% מ-200 הם 50, ו-200 פחות 50 הם 150.

טעות נפוצה היא להוסיף 25% למחיר החדש: $150\cdot 1.25=187.5$. זה שגוי, כי ההנחה חושבה מהמחיר המקורי ולא מהמחיר שאחרי ההנחה.

תרגום למשוואה

כשהאחוז עצמו הוא הנעלם, מתרגמים את המשפט למשוואה: הסימן % הופך ל״חלקי 100״, והמילה ״מ-״ או ״של״ הופכת לכפל.

דוגמה: a% מ-60 שווים ל-15% מ-200. מהו a? מתרגמים: $\frac{a}{100}\cdot 60=\frac{15}{100}\cdot 200$.

15% מ-200 הם 30, ולכן $\frac{60a}{100}=30$. כופלים את שני האגפים ב-100 ומקבלים $60a=3000$. מחלקים ב-60 ומקבלים $a=50$. בדיקה: 50% מ-60 הם 30, וגם 15% מ-200 הם 30.

אותה דרך עובדת גם כשהנעלם מופיע פעמיים. המשפט ״x% מ-x גדול מ-x״ מתורגם ל-$\frac{x}{100}\cdot x>x$. עבור x חיובי מחלקים את שני האגפים ב-x ומקבלים $\frac{x}{100}>1$, כלומר $x>100$.