מושגים בפסיכומטרי: הסתברות: רצוי מתוך מצוי

מושגים בפסיכומטרי · חשיבה כמותית

הסתברות: רצוי מתוך מצוי בפסיכומטרי — המדריך המלא

הסבר מלא בכתב, צעד אחר צעד, בשיטת ההוראה של זינוק: מה זה, איך פותרים, איפה זה מופיע בבחינה, הטעויות שכולם עושים — ושאלות לתרגול עם פתרון.

⏱ קריאה: כ-3 דק' 1 פרקים 3 שאלות לתרגול ▶ 2 סרטוני הסבר זמן לימוד מומלץ: 2–3 שעות

לתרגול הסתברות: רצוי מתוך מצוי

בקצרה

הסתברות: רצוי מתוך מצוי ב-6 משפטים

הסתברות היא מספר האפשרויות הרצויות חלקי מספר האפשרויות האפשריות — רצוי מתוך מצוי.
התוצאה תמיד בין 0 ל-1. תוצאה שלילית או גדולה מ-1 מסמנת טעות בחישוב, לא תשובה נדירה.
"וגם" הוא כפל, ו-"או" של אירועים זרים הוא חיבור. זיהוי המילה בשאלה קובע את הפעולה.
כששולפים בלי החזרה, המצוי קטן בכל שליפה — וגם הרצוי, אם שלפנו את מה שרצינו. זה השינוי שהכי נוטים לשכוח.
ההסתברות שמשהו לא יקרה היא 1 פחות ההסתברות שיקרה. זהו הקיצור שפותר שאלות "לפחות".
כמעט כל שאלה נפתרת בשלוש שאלות: מה נחשב מצוי, מה נחשב רצוי, והאם האירועים ברצף או במקביל.

ההקשר לבחינה

הסתברות: רצוי מתוך מצוי בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת

פרקי חשיבה כמותית

נספרים לציון (בנוסף לפרק ניסיוני אחד שאינו נכלל בציון)

20 דק'

זמן לפרק

כ-20 שאלות בפרק — כדקה לשאלה, אין זמן לחישובים ארוכים

50%

משקל הכמותי בציון

במתכונת הדו־תחומית מדצמבר 2026; 75% בציון בדגש כמותי

אסור

מחשבון

מותר רק כהתאמה מאושרת — לכן כל החישובים נעשים ביד

איפה הסתברות: רצוי מתוך מצוי מתחבאים בשאלות

שליפה מכד או מקופסה. כדורים בצבעים שונים, ומבקשים הסתברות לשליפה אחת או לשתיים ברצף.
קובייה ומטבע. הטלות חוזרות, שבהן המצוי אינו משתנה בין הטלה להטלה.
שני אירועים ברצף. עם החזרה או בלעדיה — ההבדל בין שני המקרים הוא לב השאלה.
הסתברות מתוך טבלה או דיאגרמה. נתונים מוצגים בטבלה, וצריך לזהות מה המצוי הרלוונטי לשאלה.
שאלות "לפחות" ו-"לכל היותר". נפתרות דרך המשלים ולא בספירה ישירה.

כ-5%–8%

מהשאלות בפרק הכמותי עוסקות בהסתברות ובצירופים. זהו נושא שבו הפער בין מי שמכיר את שלוש השאלות המנחות ובין מי שמנסה לספור ידנית הוא הגדול ביותר בפרק.

הסתברות לאירוע בודדכ-2%–3%
שני אירועים ברצףכ-2%–4%
שאלות משלים ו-"לפחות"כ-1%–2%

אומדן צוות ההוראה של זינוק · אומדן צוות ההוראה של זינוק, על בסיס ניתוח בחינות לדוגמה שפורסמו לציבור. המרכז הארצי לבחינות ולהערכה אינו מפרסם התפלגות נושאים רשמית; הנתון הוא הערכה ועשוי להשתנות ממועד למועד.

במאגר התרגול הציבורי של זינוק: 20 שאלות הסתברות וצירופים קל 7 · בינוני 12 · קשה 1 נושאים חוזרים: probability, permutation, dice, without-replacement

העובדות על מבנה הבחינה מבוססות על פרסומי המרכז הארצי לבחינות ולהערכה, כפי שמסוכמים בעמוד מבנה הבחינה של זינוק. האומדן הוא הערכה של צוות ההוראה ואינו נתון רשמי.

1רצוי מתוך מצוי — וכל מה שנגזר מזה

ההגדרה והטווח, ההבדל בין "וגם" ל-"או", מה קורה כששולפים בלי להחזיר, והקיצור של המשלים.

המצב	המצוי (כל האפשרויות)	הרצוי	ההסתברות
הטלת מטבע — לקבל עץ	2	1	1 מתוך 2
הטלת קובייה — לקבל 5	6	1	1 מתוך 6
הטלת קובייה — לקבל מספר זוגי	6	3	3 מתוך 6, כלומר חצי
שליפה מכד עם 4 אדומים ו-6 כחולים — לשלוף אדום	10	4	4 מתוך 10
שליפת קלף מחפיסה של 52 — לשלוף לב	52	13	13 מתוך 52, כלומר רבע

המצוי הוא תמיד כל מה שיכול לקרות, גם מה שלא רוצים. השאלה הראשונה בכל תרגיל היא מה בדיוק נספר במכנה.

הערך	המשמעות	מתי מתקבל
0	האירוע לא יכול לקרות	לשלוף כדור ירוק מכד שאין בו ירוקים
בין 0 ל-1	האירוע אפשרי	רוב השאלות
1	האירוע יקרה בוודאות	לשלוף כדור כלשהו מכד מלא
מעל 1 או מתחת ל-0	בלתי אפשרי — יש טעות בחישוב	בדרך כלל חיבור במקום כפל

זו בדיקת השפיות המהירה ביותר בנושא. תוצאה מחוץ לטווח אינה תשובה נדירה אלא סימן ודאי לטעות.

הנתון
בקופסה 3 עטים כחולים, 5 שחורים ו-2 אדומים.
המצוי
סך העטים: 3 ועוד 5 ועוד 2, כלומר 10.
הרצוי — שאלה ראשונה
הסתברות לשלוף עט שחור: 5 מתוך 10, כלומר חצי.
הרצוי — שאלה שנייה
הסתברות לשלוף עט שאינו שחור: 5 מתוך 10 גם כן, או 1 פחות חצי.
הרצוי — שאלה שלישית
הסתברות לשלוף כחול או אדום: 3 ועוד 2, כלומר 5 מתוך 10.
מה שחוזר בכל שלושתן
המכנה לא זז. רק המונה משתנה לפי מה שהשאלה מגדירה כרצוי.

בשליפה אחת המצוי קבוע, ולכן כל השאלות על אותה קופסה חולקות את אותו מכנה. זה נכון רק לשליפה אחת.

המילה בשאלה	מה היא מסמנת	הפעולה	תנאי
"וגם"	שני האירועים קורים	כפל	—
"או"	לפחות אחד מהם קורה	חיבור	רק אם אינם יכולים לקרות יחד
"ואז"	אירוע אחרי אירוע	כפל	שימו לב אם המצוי השתנה בדרך
"שניהם"	ניסוח אחר של "וגם"	כפל	—
"לפחות אחד"	שלילה של "אף אחד"	משלים	1 פחות ההסתברות שאף אחד לא קרה

התנאי בשורת "או" חשוב: הוא מתקיים למשל ב-"אדום או כחול" בשליפה אחת, אך לא ב-"זוגי או גדול מ-3" בקובייה, שם 4 ו-6 נספרים פעמיים.

כשהכמויות משתנות: שני אירועים ברצף

כשאנחנו עושים דברים, אנחנו משנים לפעמים את הכמויות. יש לשים לב אם משהו משתנה לנו:
דוגמה
3 מתוך 5 כדורי פלאפל נגועים בסלמונלה. ציון אכל שני כדורים. מה הסיכוי שהוא לא אכל כדור הנגוע
בסלמונלה?

תשובה
יש לנו שני אירועים. הוא אוכל את הכדור הראשון, ואז את הכדור השני. אנחנו רוצים שהוא יאכל את
הכדורים הלא נגועים.
הכדור הראשון- יש שני כדורים רצויים מתוך 5 בסך הכל, ולכן הסיכוי הוא $\frac{2}{5}$
איור

הכדור השני- נותר כדור אחד רצוי, מתוך 4 כדורים שנשארו. ולכן הסיכוי הוא $\frac{1}{4}$
איור

נכפיל ונקבל $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

הנתון
בכד 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים, ושולפים שניים ברצף.
עם החזרה — השליפה הראשונה
הסתברות לאדום: 4 מתוך 10.
עם החזרה — השליפה השנייה
הכדור הוחזר, ולכן שוב 4 מתוך 10. התוצאה היא מכפלת השניים.
בלי החזרה — השליפה הראשונה
שוב 4 מתוך 10.
בלי החזרה — השליפה השנייה
נשלף כדור אדום, ולכן נשארו 3 אדומים מתוך 9 כדורים. ההסתברות היא 3 מתוך 9.
ההבדל
בלי החזרה גם המונה וגם המכנה קטנו. שכחת אחד מהם היא הטעות הנפוצה ביותר בשאלות רצף.

כשנשלף כדור שאינו מהצבע המבוקש, רק המכנה קטן — המונה נשאר. לכן חשוב לעקוב אחרי שניהם בנפרד ולא להוריד "אחד מכל אחד" אוטומטית.

השאלה	הדרך הישירה	דרך המשלים
לפחות אחד מוצלח מתוך 3	לחשב בדיוק אחד, בדיוק שניים ובדיוק שלושה, ולחבר	1 פחות ההסתברות שאף אחד לא הצליח
לפחות פעם אחת "עץ" בשתי הטלות	שלושה מקרים	1 פחות ההסתברות לשני "פלי"
לכל היותר אחד	בדיוק אפס ובדיוק אחד	1 פחות ההסתברות לשניים ומעלה
לא ייצא אדום	לספור את כל היתר	1 פחות ההסתברות לאדום

המשלים אינו קיצור נוח בלבד: בשאלות "לפחות" עם שלושה אירועים ומעלה, הדרך הישירה כמעט תמיד ארוכה מדי לזמן המוקצב.

מה נחשב מצוי
סופרים את כל האפשרויות, כולל אלה שלא רוצים.
מה נחשב רצוי
סופרים רק את אלה שעונות על התנאי בשאלה, ובודקים שלא נספרו פעמיים.
אירוע אחד או יותר
אם יותר מאחד — בודקים אם הם ברצף או בלתי תלויים.
עם או בלי החזרה
אם בלי החזרה, מעדכנים את המצוי ואת הרצוי לפני השליפה הבאה.
"וגם" או "או"
כפל או חיבור, לפי המילה — ובחיבור בודקים שהאירועים זרים.
בדיקה אחרונה
מוודאים שהתוצאה בין 0 ל-1, ושהיא בכיוון הסביר: אירוע נדיר צריך לצאת קטן.

שישה שלבים, ורובם לוקחים שניות. השלב שנוטים לדלג עליו הוא הרביעי, והוא זה שמכריע את רוב שאלות הרצף.

▶ בווידאו: רצוי מתוך מצוי — וכל מה שנגזר מזה

**הסתברות מותנית: תרגיל פתור** לשיעור המלא ←

**הסתברות בשני שלבים: בוחרים כד ואז כדור**

שימו לב

הטעויות הנפוצות בהסתברות: רצוי מתוך מצוי — ואיך נמנעים מהן

חיבור במקום כפל בשני אירועים

"אדום וגם כחול" — מחברים את שתי ההסתברויות

"וגם" הוא כפל; חיבור שמור ל-"או" של אירועים זרים

חיבור של שתי הסתברויות נותן תוצאה גדולה מכל אחת מהן, בעוד שההסתברות ששני אירועים יקרו יחד קטנה מכל אחד מהם בנפרד. לעיתים קרובות התוצאה אף חורגת מ-1.

שכחת עדכון המצוי בשליפה בלי החזרה

בשליפה שנייה מתוך 10 כדורים — שוב מחלקים ב-10

אחרי שליפה אחת נשארו 9, ולכן מחלקים ב-9

בלי החזרה כל שליפה משנה את הקופסה. שימוש באותו מכנה הופך את התרגיל לשאלת "עם החזרה", שהיא שאלה אחרת לגמרי.

עדכון המונה כשלא היה צריך

אחרי ששלפנו כדור כחול, מורידים גם ממספר האדומים

רק הצבע שנשלף יורד; שאר הצבעים נשארים

המונה סופר את הרצוי. אם הכדור שנשלף אינו מהצבע הרצוי, הרצוי לא השתנה — רק סך הכדורים קטן.

חיבור אירועים שיכולים לקרות יחד

הסתברות לקבל בקובייה מספר זוגי או מספר גדול מ-3 היא חצי ועוד חצי

בודקים חפיפה לפני שמחברים

4 ו-6 הם גם זוגיים וגם גדולים מ-3, ולכן נספרים פעמיים. חיבור ישיר נותן 1, כלומר ודאות — וזה כמובן לא נכון.

ספירת המצוי לפי מה שרוצים

רוצים אדום, יש 4 אדומים — אז המצוי הוא 4

המצוי הוא כל הכדורים בקופסה, כולל אלה שלא רוצים

המכנה מייצג את כל מה שיכול לקרות. הצבתו כמספר הרצויים נותנת תמיד 1, ומסמנת שהמושג עצמו התבלבל.

ספירה ידנית בשאלות "לפחות"

מחשבים בנפרד בדיוק אחד, בדיוק שניים ובדיוק שלושה

מחשבים 1 פחות ההסתברות שאף אחד לא קרה

הדרך הישירה מתארכת מהר ככל שגדל מספר האירועים. המשלים פותר את אותה שאלה בפעולה אחת, וכמעט תמיד הוא הכוונה של מנסח השאלה.

תרגול

שאלות לדוגמה על הסתברות: רצוי מתוך מצוי — עם פתרון מלא

שאלות מתוך מאגר התרגול של זינוק, בסגנון הבחינה. סמנו את התשובה שנראית לכם נכונה — ותקבלו מיד משוב ופתרון מלא.

שאלה 1 מתוך 3בינוני

בכד 5 כדורים אדומים ו-3 ירוקים. מוציאים 2 כדורים ללא החזרה. מה ההסתברות ששניהם אדומים?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: א

ללא החזרה — הסתברות הראשון משפיעה על השני.
כמה כדורים יש סך הכל?

5 + 3 = 8

.
1. הראשון אדום:

\frac{5}{8}

.
2. בהינתן שהראשון אדום, נשארו 4 אדומים מתוך 7:

\frac{4}{7}

.
3. הסתברות שניהם אדומים:

\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}

.
זכרו — ללא החזרה: הכפילו הסתברויות עוקבות, אבל עדכנו את המונה והמכנה אחרי כל שליפה.

שאלה 2 מתוך 3קל

מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שסכום הנקודות שווה ל-7?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ד

שתי קוביות — בואו נחשוב אינטואיטיבית קודם.
כמה תוצאות סך הכל?

6 \cdot 6 = 36

(כל קובייה 6 אפשרויות).
כמה מתוכן נותנות סכום 7?
1. רשימה: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) — 6 מקרים.
2. הסתברות:

\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

.
זכרו — מבין כל הסכומים האפשריים ב-2 קוביות (2 עד 12), הסכום 7 הוא בעל הכי הרבה מקרים. זאת הסיבה ש-7 הוא 'מספר מזל' בקובייה.

שאלה 3 מתוך 3בינוני

בקופסה 4 כדורים שחורים ו-6 לבנים. שולפים 2 כדורים בו זמנית. מה ההסתברות לקבל אחד שחור ואחד לבן?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: א

שני כדורים בו-זמנית = ללא חשיבות לסדר.
1. סך זוגות:

(2 10) = 45

.
2. זוגות 'שחור-לבן':

4 \cdot 6 = 24

(לכל שחור, יש 6 לבנים).
3. הסתברות:

\frac{24}{45} = \frac{8}{15}

.
שיטה חלופית (סדרתית, בלי לבזבז):

\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}

.
זכרו — 'אחד מכל סוג': שתי הסידורים האפשריים, כפל ב-2.

תרגול לפי נושא

תרגול הסתברות וצירופים לפסיכומטרי — 20 שאלות עם פתרון מלא

מתרגלים במקבצים של 10 שאלות, ולכל שאלה יש פתרון מלא. חלק מהמקבצים פתוחים לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון. השאלות נכתבו על ידי צוות ההוראה של זינוק.

מתרגלים את הנושא

ממשיכים לתרגל

עוד תרגול בחינם: כל הנושאים בחשיבה מילולית ובחשיבה כמותית, או מבחן לדוגמה מלא עם טיימר.

לתרגולים באתרכל הנושאים בחשיבה מילולית ובחשיבה כמותית. מבחן לדוגמה במבנה החדשסימולציה מלאה עם טיימר — לבדוק איפה אתם עומדים.

קורס הפסיכומטרי של זינוק

לומדים לבד? בקורס של זינוק עושים את זה עם ליווי אישי

השאירו פרטים ונחזור אליכם עם כל המידע על הקורס.

שאלות נפוצות

מה תלמידים שואלים על הסתברות: רצוי מתוך מצוי

מה זה בעצם "רצוי מתוך מצוי"?

המונה הוא מספר התוצאות שעונות על מה שהשאלה מבקשת, והמכנה הוא מספר כל התוצאות האפשריות. בהטלת קובייה, ההסתברות למספר זוגי היא 3 מתוך 6: שלוש תוצאות זוגיות מתוך שש אפשריות בסך הכול.

מתי מכפילים ומתי מחברים?

מכפילים כששני האירועים צריכים לקרות — "וגם", "שניהם", "ואז". מחברים כשמספיק שאחד מהם יקרה — "או" — ורק בתנאי שאינם יכולים לקרות בו-זמנית. אם יש ביניהם חפיפה, חיבור ישיר סופר חלק מהמקרים פעמיים.

מה ההבדל בין שליפה עם החזרה לבלעדיה?

עם החזרה הקופסה חוזרת למצבה המקורי, ולכן ההסתברות זהה בכל שליפה. בלי החזרה כל שליפה מקטינה את סך האפשרויות, ואם נשלף הצבע המבוקש — מקטינה גם את מספר הרצויים. תמיד כדאי לחפש בשאלה את המילה "מחזירים".

איך פותרים שאלת "לפחות"?

דרך המשלים. "לפחות אחד" הוא ההפך של "אף אחד", ולכן מחשבים את ההסתברות שאף אחד לא קרה ומחסרים מ-1. זה חוסך את ספירת כל המקרים האפשריים, שהיא כמעט תמיד ארוכה מדי.

איך יודעים שהתשובה שלי הגיונית?

שתי בדיקות. ראשית, התוצאה חייבת להיות בין 0 ל-1. שנית, הכיוון: אירוע שדורש כמה דברים לקרות יחד צריך לצאת קטן, ואירוע שמסתפק באחד מרבים צריך לצאת גדול. תוצאה שנוגדת את התחושה הזאת מסמנת בלבול בין כפל לחיבור.

צריך לדעת נוסחאות צירופים?

ברוב השאלות לא. הן נפתרות בספירה מסודרת ובכפל, ולא בנוסחאות. שליטה בשאלות המנחות — מה המצוי, מה הרצוי, ואם יש החזרה — מכסה את הרוב המוחלט של מה שמופיע בפועל.

הצעד הבא

רוצים להבין ככה כל נושא בפסיכומטרי?

קורס ההכנה לפסיכומטרי של זינוק מלמד את ההיגיון שמאחורי כל נושא — עם ליווי אישי, מאגר תרגול ענק והתחייבות לציון. יש גם מסלול ללקויי למידה וליווי בהקלות בבחינה.

מבחן ניסיון חינם

ליווי אישימורים שמלווים אתכם לאורך הדרך
מאגר תרגולשאלות עם פתרון מלא, בסגנון הבחינה
התחייבות לציוןלפי תנאי הקורס

מבוסס על חוברת הקורס של זינוקכל השאלות, האיורים והסרטונים בעמוד הם תוכן מקורי של זינוקעודכן 21.9.2026

הפלטפורמה הדיגיטלית של זינוק

הקורס ממשיך איתכם לכל מקום

אפליקציה לפסיכומטרי, אפליקציה לאמירנט, אפליקציה ל-Apple Watch ואתר תלמידים עם למעלה מ-7,000 סרטוני פתרונות והדרכה. הכול מחובר לקורס שלכם, מסונכרן בין המכשירים וזמין 24/7.

אתר התלמידים

כל שיעור, כל שאלה, כל פתרון בווידאו

למעלה מ-7,000 סרטוני פתרונות והדרכה
זמין 24/7 מכל מכשיר
מענה מדריכים באתר

צפו בשיעור לדוגמה לאזור התרגול החינמי

מסך הבית של אפליקציית הפסיכומטרי של זינוק

חדש

אפליקציית הפסיכומטרי של זינוק

שיעורי הבית מהקורס, תרגול אדפטיבי שמכוון לנקודות החלשות, אוצר מילים בשיטת חזרה מרווחת ומדד הזינוק, מדד מוכנות אישי שמתעדכן אחרי כל תרגול.

הורדה מ-App Store הורדה מ-Google Play

אמירנט

אפליקציית האמירנט של זינוק

תוכנית יומית מותאמת, אוצר מילים עם הגייה, תרגול במתכונת הבחינה, ציון משוער וצוות זינוק זמין בצ'אט מתוך האפליקציה.

הורדה מ-App Store הורדה מ-Google Play

Apple Watch

אמירנט על היד

טיימר הסימולציה רץ על השעון, עם השהיה והמשך ישירות מהיד ורטט עדין בסיום כל פרק. פותחים את השעון באמצע הסימולציה, והטיימר כבר מסונכרן.

כלול באפליקציית האמירנט של זינוק ל-iPhone.

הגישה לאפליקציות ולאתר התלמידים ניתנת לתלמידי הקורסים של זינוק. למידע על קורס הפסיכומטרי · למידע על קורס האמירנט

קורס הפסיכומטרי של זינוק

מעוניינים לשמוע עוד על קורס פסיכומטרי עם התחייבות להצלחה?

השאירו את הפרטים ונחזור אליכם!

התחייבות להצלחה, לפי תנאי הקורס
ליווי אישי של מורי זינוק
מאגר תרגול עם פתרון מלא לכל שאלה

מושגים בפסיכומטרי: הסתברות: רצוי מתוך מצוי

הסתברות: רצוי מתוך מצוי ב-6 משפטים

הסתברות: רצוי מתוך מצוי בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת

איפה הסתברות: רצוי מתוך מצוי מתחבאים בשאלות