מושגים בפסיכומטרי: הסתברות של "לפחות"

מושגים בפסיכומטרי · חשיבה כמותית

הסתברות של "לפחות" בפסיכומטרי — המדריך המלא

הסבר מלא בכתב, צעד אחר צעד, בשיטת ההוראה של זינוק: מה זה, איך פותרים, איפה זה מופיע בבחינה, הטעויות שכולם עושים — ושאלות לתרגול עם פתרון.

⏱ קריאה: כ-3 דק' 1 פרקים 3 שאלות לתרגול ▶ 1 סרטוני הסבר זמן לימוד מומלץ: 1–1.5 שעות

לתרגול הסתברות של "לפחות"

סרטון פתיחה

הסתברות של "לפחות" ב-7 דקות: ההסבר של זינוק בווידאו

המורים של זינוק מסבירים את הרעיון מאפס. אחרי הסרטון, המשיכו לפרקים המפורטים למטה — ולסרטונים הקצרים בכל פרק.

בקצרה

הסתברות של "לפחות" ב-6 משפטים

"לפחות אחד" פירושו אחד או יותר — וזה ההפך המדויק של "אף אחד".
הדרך היעילה היא המשלים: מחשבים את ההסתברות שהאירוע לא קרה אף פעם, ומחסרים אותה מ-1.
ספירה ישירה של כל המקרים עובדת רק בשניים או שלושה אירועים. מארבעה ומעלה היא ארוכה מדי לזמן המוקצב.
לא כל שאלה עם "לפחות" נפתרת במשלים: "לפחות שניים" דורש לחסר גם את "בדיוק אחד" וגם את "אף אחד".
"לכל היותר" הוא הצד השני של אותו מטבע, ונפתר באותו רעיון בדיוק.
התוצאה של שאלת "לפחות" כמעט תמיד גדולה מחצי. תשובה קטנה מסמנת בדרך כלל שהמשלים חושב אך לא חוסר מ-1.

ההקשר לבחינה

הסתברות של "לפחות" בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת

פרקי חשיבה כמותית

נספרים לציון (בנוסף לפרק ניסיוני אחד שאינו נכלל בציון)

20 דק'

זמן לפרק

כ-20 שאלות בפרק — כדקה לשאלה, אין זמן לחישובים ארוכים

50%

משקל הכמותי בציון

במתכונת הדו־תחומית מדצמבר 2026; 75% בציון בדגש כמותי

אסור

מחשבון

מותר רק כהתאמה מאושרת — לכן כל החישובים נעשים ביד

איפה הסתברות של "לפחות" מתחבאים בשאלות

הטלות חוזרות. מטבע או קובייה שמוטלים כמה פעמים, ומבקשים "לפחות פעם אחת".
שליפות חוזרות. כמה שליפות מקופסה, עם החזרה או בלעדיה, ומבקשים לפחות אחד מסוג מסוים.
"לכל היותר". ניסוח הפוך שנפתר באותה שיטה, ולעיתים קרובות מופיע כמסיח לשאלת "לפחות".
"לפחות שניים". הגרסה שבה המשלים אינו אירוע יחיד אלא שניים, וצריך לחסר את שניהם.

כ-2%–4%

מהשאלות בפרק הכמותי מנוסחות במילה "לפחות" או "לכל היותר". הן אינן רבות, אך הן מהשאלות המובהקות שבהן הכרת הקיצור היא ההבדל בין חצי דקה לשלוש דקות.

"לפחות אחד" — משלים ישירכ-1%–3%
"לפחות שניים" ו-"לכל היותר"כ-1%

אומדן צוות ההוראה של זינוק · אומדן צוות ההוראה של זינוק, על בסיס ניתוח בחינות לדוגמה שפורסמו לציבור. המרכז הארצי לבחינות ולהערכה אינו מפרסם התפלגות נושאים רשמית; הנתון הוא הערכה ועשוי להשתנות ממועד למועד.

במאגר התרגול הציבורי של זינוק: 20 שאלות הסתברות וצירופים קל 7 · בינוני 12 · קשה 1 נושאים חוזרים: probability, permutation, dice, without-replacement

העובדות על מבנה הבחינה מבוססות על פרסומי המרכז הארצי לבחינות ולהערכה, כפי שמסוכמים בעמוד מבנה הבחינה של זינוק. האומדן הוא הערכה של צוות ההוראה ואינו נתון רשמי.

1"לפחות" — למה סופרים הפוך

מה המילה באמת אומרת, למה הספירה הישירה מתפוצצת, איך עובד המשלים, ומתי הוא לא מספיק.

הניסוח	כמה פעמים	המשלים שלו
לפחות אחד	1 או יותר	אף אחד
לפחות שניים	2 או יותר	אף אחד, או בדיוק אחד
לכל היותר אחד	0 או 1	שניים או יותר
בדיוק אחד	1 בדיוק	כל האפשרויות האחרות
אף פעם	0	לפחות אחד

השורה הראשונה והאחרונה הן אותו זוג, משני כיווניו. זיהוי המשלים הנכון הוא כל העבודה בשאלות האלה.

מספר ההטלות	המקרים שצריך לספור ישירות	המקרים במשלים
2	2 מקרים: פעם אחת, פעמיים	1 מקרה
3	3 מקרים	1 מקרה
4	4 מקרים	1 מקרה
5	5 מקרים	1 מקרה
10	10 מקרים	1 מקרה

הדרך הישירה גדלה עם מספר ההטלות; המשלים נשאר חישוב אחד. זה בדיוק הפער שמנסח השאלה סומך עליו.

המשלים: לחשב את מה שלא רוצים

דוגמה
טל מטיל מטבע 3 פעמים. מה הסיכוי שהוא יקבל "פלי" לפחות פעם אחת?

תשובה
אנו רוצים שהוא יקבל לפחות פעם אחת פלי. לא אכפת לנו אם זה יצא בהטלה ראשונה, ואם לא הלך בהטלה ראשונה, אז בהטלה השנייה, ואם לא אז בהטלה השלישית. גם אם נקבל פעמיים פלי זה טוב לנו. וגם אם נקבל 3 פעמים פלי זה טוב לנו אז איך נחשב? קל לחשב את מה שלא טוב לנו!
אם צריך להוציא לפחות פלי פעם אחת, אז מה שלא טוב לנו זה שייצא כל הזמן עץ. נחשב את הסיכוי שייצא רק עץ, בשלוש הטלות $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

הטלה ג'	הטלה ב'	הטלה א׳
עץ	עץ	עץ	אפשרות 1
פלי	עץ	עץ	אפשרות 2
עץ	פלי	עץ	אפשרות 3
פלי	פלי	עץ	אפשרות 4
עץ	עץ	פלי	אפשרות 5
פלי	עץ	פלי	אפשרות 6
עץ	פלי	פלי	אפשרות 7
פלי	פלי	פלי	אפשרות 8

שימו לב- אנחנו צריכים לפחות פלי פעם אחת. בכל אחת מהאפשרויות יש לנו לפחות פלי אחד, חוץ מאפשרות 1, שיצא לנו עץ- עץ- עץ.

השאלה
מטילים מטבע הוגן שלוש פעמים. מה ההסתברות לקבל "עץ" לפחות פעם אחת.
מזהים את המשלים
ההפך של "לפחות עץ אחד" הוא "אף פעם לא עץ", כלומר "פלי" בשלוש ההטלות.
מחשבים את המשלים
ההסתברות ל-"פלי" בהטלה בודדת היא חצי, ושלוש ההטלות בלתי תלויות זו בזו.
מכפילים
חצי כפול חצי כפול חצי, כלומר 1 חלקי 8.
מחסרים מ-1
1 פחות 1 חלקי 8 נותן 7 חלקי 8.
בודקים שזה הגיוני
שלוש הזדמנויות לקבל עץ — סביר שהתוצאה קרובה ל-1. 7 חלקי 8 הוא כ-87.5%.

שימו לב לשלב החמישי: 1 חלקי 8 הוא המשלים, לא התשובה. עצירה שלב אחד מוקדם מדי היא הטעות הנפוצה ביותר בנושא.

מזהים את המילה
"לפחות", "לכל היותר", "אף פעם" — כל אחת מסמנת שהמשלים כדאי.
מנסחים את ההפך
כותבים במילים מה בדיוק צריך לא לקרות.
מחשבים את ההסתברות להפך
לרוב זו מכפלה אחת פשוטה, כי מדובר באותו דבר שחוזר.
מחסרים מ-1
זה השלב שמסיימים בו — ואסור לדלג עליו.
בודקים כיוון
שאלת "לפחות" עם כמה ניסיונות צריכה לתת תוצאה גדולה, קרובה ל-1.

חמישה שלבים שלוקחים יחד פחות מדקה, גם כשמספר ההטלות גדול.

אם בשאלה כתוב	מחשבים את	ואז
לפחות אחד	ההסתברות שאף אחד לא קרה	מחסרים מ-1
לפחות שניים	אף אחד, ועוד בדיוק אחד	מחסרים את הסכום מ-1
לכל היותר אחד	שניים ומעלה	מחסרים מ-1, או מחברים ישירות אפס ואחד
אף פעם	ישירות	אין צורך במשלים
בדיוק אחד	ישירות, עם ספירת הסדרים	אין צורך במשלים

שתי השורות האחרונות מזכירות שלא כל שאלה דורשת משלים. הוא כלי לניסוחים של "לפחות" ו-"לכל היותר", לא ברירת מחדל.

מתי זה קורה
כשהשאלה מבקשת "לפחות שניים" ולא "לפחות אחד".
מה המשלים
שני מקרים ולא אחד: שהאירוע לא קרה כלל, ושהוא קרה בדיוק פעם אחת.
מחשבים את הראשון
ההסתברות שהאירוע לא קרה באף ניסיון.
מחשבים את השני
ההסתברות שהוא קרה בדיוק פעם אחת — כאן צריך לספור גם באיזה ניסיון זה היה.
מחברים ומחסרים
מחברים את שני המקרים ומחסרים את הסכום מ-1.
למה טועים כאן
מפני שמפעילים אוטומטית את הנוסחה של "לפחות אחד" ומחסרים רק מקרה אחד.

זו הגרסה שמפילה את מי שלמד את הנושא כנוסחה ולא כרעיון. השאלה איננה "לחסר מ-1" אלא "מה בדיוק ההפך".

שימו לב

הטעויות הנפוצות בהסתברות של "לפחות" — ואיך נמנעים מהן

עצירה על המשלים

ההסתברות שאף פעם לא יצא עץ היא 1 חלקי 8, וזו התשובה

התשובה היא 1 פחות 1 חלקי 8, כלומר 7 חלקי 8

המשלים הוא שלב ביניים, לא התוצאה. המסיח הזה מופיע כמעט תמיד בין ארבע התשובות, בדיוק מפני שהוא החישוב הנכון שנעצר שלב אחד מוקדם.

קריאת "לפחות אחד" כ-"בדיוק אחד"

"לפחות פעם אחת" פירושו פעם אחת בדיוק

"לפחות אחד" כולל גם שניים, גם שלושה וגם את כל היתר

המילה "לפחות" מציינת רף תחתון ולא כמות מדויקת. "בדיוק אחד" הוא אירוע קטן בהרבה, ולכן ייתן תשובה קטנה בהרבה.

שימוש במשלים יחיד ב-"לפחות שניים"

מחסרים מ-1 את ההסתברות שאף אחד לא קרה

מחסרים גם את "אף אחד" וגם את "בדיוק אחד"

ההפך של "שניים או יותר" כולל שני מצבים. חיסור של אחד מהם בלבד משאיר את "בדיוק אחד" בתוך התשובה, אף שהוא אינו עונה על התנאי.

ספירה ישירה כשיש הרבה ניסיונות

מחשבים בנפרד בדיוק אחד, בדיוק שניים, בדיוק שלושה וכן הלאה

עוברים למשלים

מספר המקרים גדל עם מספר הניסיונות, וכל מקרה דורש גם ספירת סדרים. בזמן המוקצב לשאלה זה כמעט תמיד בלתי אפשרי.

התעלמות משינוי בין ניסיונות

מעלים את ההסתברות בחזקת מספר הניסיונות, תמיד

זה נכון רק כשהניסיונות בלתי תלויים

בהטלות מטבע או קובייה שום דבר לא משתנה, ולכן הכפל הפשוט תקף. בשליפות בלי החזרה המצוי קטן בכל שלב, וצריך להכפיל שברים שונים.

תשובה קטנה בשאלת "לפחות"

יצא 0.12 והתשובה נראית סבירה

שאלת "לפחות" עם כמה ניסיונות נותנת בדרך כלל תוצאה גדולה

ככל שיש יותר הזדמנויות, כך גדל הסיכוי שהאירוע יקרה לפחות פעם אחת. תוצאה קטנה מסמנת כמעט תמיד שנשכח החיסור מ-1.

תרגול

שאלות לדוגמה על הסתברות של "לפחות" — עם פתרון מלא

שאלות מתוך מאגר התרגול של זינוק, בסגנון הבחינה. סמנו את התשובה שנראית לכם נכונה — ותקבלו מיד משוב ופתרון מלא.

שאלה 1 מתוך 3בינוני

אם מטילים 2 קוביות, מה ההסתברות שלפחות אחת מהן תיתן 6?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ג

'לפחות אחד' — תמיד יותר נוח עם משלים.
1. הסתברות שקובייה אחת לא 6:

\frac{5}{6}

.
2. שתי הקוביות לא 6:

(\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}

.
3. לפחות אחת 6:

1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

.
תזכור — 'לפחות אחד' תמיד עדיף עם משלים:

1 - P (אף אחד)

. ספירה ישירה היא ארוכה ושגויה.

שאלה 2 מתוך 3בינוני

מטילים קובייה 3 פעמים. מה ההסתברות שכל הזרקות יראו תוצאה גדולה מ-4?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ד

3 הטלות עצמאיות. מאיזה ערך מעלה מ-4?
1. בקובייה אחת:

{5, 6}

— 2 מתוך 6, הסתברות

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

.
2. שלוש הטלות עצמאיות: הכפל:

(\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{27}

.
במונה:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

מקרים מתוך

6^{3} = 216

\frac{8}{216} = \frac{1}{27}

. אישור.
תזכור — אירועים בלתי תלויים: הכפל הסתברויות.

שאלה 3 מתוך 3קל

מטילים מטבע 3 פעמים. מה ההסתברות לקבל בדיוק 2 ראשים?

הצג פתרון

התשובה הנכונה: ב

מטבע, 3 הטלות, בדיוק 2 ראשים.
כמה תוצאות סך הכל?

2^{3} = 8

.
כמה מתוכן בדיוק 2 ראשים? נמנה: HHT, HTH, THH — 3 מקרים.
הסתברות:

\frac{3}{8}

.
בנוסחה:

(2 3) \cdot (\frac{1}{2})^{2} \cdot (\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}

.
תזכור — התפלגות בינומית:

P (k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

. לזכור.

מתרגלים את הנושא

עכשיו תורכם: לתרגל הסתברות של "לפחות"

ההסבר נגמר — עכשיו בודקים שזה באמת יושב. חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון, ולכל שאלה יש פתרון מלא.

תרגול הסתברות וצירופים20 שאלות עם פתרון מלא ומפורט — בעמוד ההסתברות. לתרגולים באתרכל הנושאים בחשיבה מילולית ובחשיבה כמותית. מבחן לדוגמה במבנה החדשסימולציה מלאה עם טיימר — לבדוק איפה אתם עומדים.

חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון. השאלות נכתבו על ידי צוות ההוראה של זינוק.

שאלות נפוצות

מה תלמידים שואלים על הסתברות של "לפחות"

מה בדיוק אומר "לפחות אחד"?

אחד או יותר. זה כולל בדיוק אחד, בדיוק שניים, וכל מספר גדול יותר. המשלים המדויק שלו הוא "אף אחד" — ולכן אפשר לחשב את ההסתברות שהאירוע לא קרה כלל, ולחסר אותה מ-1.

למה לא פשוט לספור את כל המקרים?

כי מספרם גדל עם מספר הניסיונות, וכל מקרה דורש גם לספור באילו ניסיונות בדיוק הוא קרה. בחמש הטלות זה כבר חמישה חישובים נפרדים. המשלים הוא חישוב אחד, ללא קשר למספר הניסיונות.

האם כל שאלת "לפחות" נפתרת בחיסור אחד?

לא. "לפחות אחד" — כן, כי המשלים הוא מקרה יחיד. "לפחות שניים" דורש לחסר שני מקרים: שהאירוע לא קרה כלל, ושהוא קרה בדיוק פעם אחת. הכלל האמיתי הוא לנסח את ההפך במילים, ורק אז לחשב.

ומה עם "לכל היותר"?

אותו רעיון מהכיוון ההפוך. "לכל היותר אחד" פירושו אפס או אחד, והמשלים שלו הוא שניים ומעלה. אפשר גם לחשב ישירות את שני המקרים ולחבר — בדרך כלל זה קצר יותר כשמדובר בשני מקרים בלבד.

איך יודעים שהתשובה סבירה?

בשאלת "לפחות אחד" עם כמה ניסיונות, התוצאה כמעט תמיד גדולה מחצי, ולעיתים קרובות קרובה ל-1. תוצאה קטנה מאוד מסמנת בדרך כלל שהמשלים חושב נכון אבל לא חוסר מ-1 — וזה בדיוק המסיח שמחכה.

השיטה עובדת גם בשליפות בלי החזרה?

כן, אבל בזהירות. הרעיון זהה — מחשבים שהאירוע לא קרה ומחסרים מ-1 — אך את המשלים מחשבים במכפלה של שברים שונים, כי המצוי קטן בכל שליפה. אי אפשר פשוט להעלות בחזקה.

הצעד הבא

רוצים להבין ככה כל נושא בפסיכומטרי?

קורס ההכנה לפסיכומטרי של זינוק מלמד את ההיגיון שמאחורי כל נושא — עם ליווי אישי, מאגר תרגול ענק והתחייבות לציון. יש גם מסלול ללקויי למידה וליווי בהקלות בבחינה.

מבחן ניסיון חינם

ליווי אישימורים שמלווים אתכם לאורך הדרך
מאגר תרגולשאלות עם פתרון מלא, בסגנון הבחינה
התחייבות לציוןלפי תנאי הקורס

מבוסס על חוברת הקורס של זינוקכל השאלות, האיורים והסרטונים בעמוד הם תוכן מקורי של זינוקעודכן 21.9.2026

מושגים בפסיכומטרי: הסתברות של "לפחות"

הסתברות של "לפחות" ב-7 דקות: ההסבר של זינוק בווידאו

הסתברות של "לפחות" ב-6 משפטים