מושגים בפסיכומטרי: אי-שוויונות וציר המספרים
מושגים בפסיכומטרי · חשיבה כמותית
הסבר מלא בכתב, צעד אחר צעד, בשיטת ההוראה של זינוק: מה זה, איך פותרים, איפה זה מופיע בבחינה, הטעויות שכולם עושים — ושאלות לתרגול עם פתרון.
אי-שוויונות וציר המספרים ב-16 דקות: ההסבר של זינוק בווידאו
המורים של זינוק מסבירים את הרעיון מאפס. אחרי הסרטון, המשיכו לפרקים המפורטים למטה — ולסרטונים הקצרים בכל פרק.
אי-שוויונות וציר המספרים ב-6 משפטים
- אי-שוויון מתנהג כמעט בדיוק כמו משוואה: מותר להעביר אגפים, לחבר, לחסר, לצמצם ולהרחיב — ואותם כללים בדיוק תקפים.
- החריג היחיד, והוא זה שמפיל: כפל או חילוק של שני האגפים במספר שלילי הופך את כיוון הסימן.
- מכאן נובע הכלל המעשי החשוב ביותר — אסור לכפול או לחלק אי-שוויון בנעלם שלא יודעים את סימנו. אם x יכול להיות שלילי, הפעולה אסורה.
- ציר המספרים הוא כלי הבדיקה הטוב ביותר: a<b פירושו ש-a נמצא משמאל ל-b. לא ידוע מכך היכן נמצא האפס ביניהם.
- שרשור אי-שוויונות עובד דרך הגורם המקשר: אם a<b וגם b<c, אפשר לכתוב a<b<c ולהסיק a<c.
- בהעלאה בריבוע ובהוצאת שורש יש להיזהר: מ-x²>9 לא נובע x>3, כי גם x=−4 מקיים את התנאי.
אי-שוויונות וציר המספרים בבחינה הפסיכומטרית: מה חשוב לדעת
איפה אי-שוויונות וציר המספרים מתחבאים בשאלות
- השוואה כמותית. רוב השאלות בסעיף זה הן אי-שוויון במסווה: השאלה היא איזה משני הטורים גדול יותר.
- תחום ערכים. "אם 2<x<5, מה בהכרח נכון לגבי x²" — שאלה שבה צריך להעביר את התחום דרך פעולה.
- מערכת של משוואה ואי-שוויון. מבודדים נעלם מהמשוואה, מציבים באי-שוויון, ופותרים כרגיל.
- שאלות "מה בהכרח". ארבעה מסיחים שכולם נראים סבירים, וצריך לזהות את האחד שנכון לכל ערך אפשרי ולא רק לדוגמה אחת.
מהשאלות בפרק הכמותי מערבות אי-שוויון, רובן דרך סעיף ההשוואה הכמותית ושאלות "מה בהכרח נכון". הנושא עצמו פשוט, אבל שיעור הטעויות בו גבוה יחסית בגלל מלכודת הסימן השלילי.
- השוואה כמותיתכ-5%–8%
- תחום ערכים ושאלות "מה בהכרח"כ-3%–5%
- פתרון אי-שוויון אלגברי מפורשכ-2%–3%
העובדות על מבנה הבחינה מבוססות על פרסומי המרכז הארצי לבחינות ולהערכה, כפי שמסוכמים בעמוד מבנה הבחינה של זינוק. האומדן הוא הערכה של צוות ההוראה ואינו נתון רשמי.
1מה בעצם אומר סימן אי-שוויון
ארבעת הסימנים, איך קוראים אותם בלי להתבלבל, ומה אפשר ומה אי אפשר להסיק מהם על ציר המספרים.
| הסימן | קוראים | דוגמה נכונה | מה הוא כולל |
|---|---|---|---|
| < | קטן מ | 2 < 5 | רק קטן ממש — לא שווה |
| > | גדול מ | 5 > 2 | רק גדול ממש — לא שווה |
| ≤ | קטן או שווה | x ≤ 3 כאשר x=3 | כולל את ערך הקצה |
| ≥ | גדול או שווה | x ≥ 3 כאשר x=3 | כולל את ערך הקצה |
| ≠ | שונה מ | x ≠ 0 | לא אומר כלום על הכיוון |
ארבעת הסימנים ואיך זוכרים אותם
אי שוויונים מאוד דומים למשוואות (עם כמה חריגות קטנות) הסימן של אי-שוויון מראה לנו שני צדדים- גדול > קטן יש כמה דרכים לזכור איזה צד הוא הגדול. כמו- הסימן > נראה כמו הסימן של הווליום D).
| נתון | מה בהכרח נכון | מה לא נובע |
|---|---|---|
| x < y | x נמצא משמאל ל-y על ציר המספרים | שום דבר על מיקום האפס ביניהם |
| x < y | y − x הוא מספר חיובי | ש-x שלילי או ש-y חיובי |
| 0 < x < y | שניהם חיוביים, ו-1/x גדול מ-1/y | ש-x² קטן מ-y² — זה נכון כאן, אבל רק כי שניהם חיוביים |
| x < y < 0 | שניהם שליליים, ו-x² גדול מ-y² | ששומרים על הכיוון בריבוע — כאן הוא דווקא מתהפך |
2מה מותר, מה אסור, ואיך משרשרים
הכללים שזהים למשוואה, החריג היחיד שמהפך את הסימן, והדרך לחבר שני אי-שוויונות לאחד.
| הפעולה | מותר? | מה קורה לסימן |
|---|---|---|
| חיבור או חיסור של מספר לשני האגפים | מותר תמיד | נשאר כפי שהוא |
| העברת אגף | מותר תמיד | נשאר כפי שהוא — זו בעצם חיבור או חיסור |
| כפל או חילוק במספר חיובי | מותר תמיד | נשאר כפי שהוא |
| כפל או חילוק במספר שלילי | מותר, בזהירות | מתהפך |
| כפל או חילוק בנעלם שסימנו לא ידוע | אסור | לא ניתן לדעת — ולכן אי אפשר להמשיך |
| הכפלה של שני אגפים חיוביים בעצמם (ריבוע) | מותר רק כששני האגפים חיוביים | נשאר כפי שהוא |
כללי הפעולה, מלכודת המינוס, ושרשור
אי שוויון מראה לנו שצד אחד נמצא שמאלה יותר על ציר המספרים מהצד השני. אם אנחנו יודעים ש- x < , אז על ציר המספרים זה יראה ככה-
שימו לב, אנחנו לא יודעים איפה נמצא אפס יחסית לשני המספרים. יש מצב שהוא בין שניהם ( חיובי ו- x שלילי), או אולי מתחת לשניהם (ואז שניהם יהיו חיוביים), או אולי מעל שניהם (ואז שניהם יהיו שליליים)...
אם ניקח את אי השיוויון הנכון- 10 4, ונכפיל את שני הצדדים ב- 1-, נקבל 10-> 4- וזה לא נכון: מינוס 10 קטן יותר ממינוס 4!
דוגמה
נתון: b<c,a<b.
יש לנו את b גורם מקשר, אז נוכל לשים את הכל על אותה שורה. נקבל- a<b <. ואם נעיף את הגורם המקשר, . -נקבל
- מתחילים מאי-שוויון נכון4 < 10 — אין ספק שזה נכון.
- מכפילים את שני האגפים במינוס 1אם היינו שומרים על הסימן היינו מקבלים −4 < −10.
- בודקים על ציר המספריםמינוס 10 נמצא רחוק יותר שמאלה ממינוס 4, ולכן מינוס 10 הוא הקטן — והטענה שגויה.
- מהפכים את הסימןהתוצאה הנכונה היא −4 > −10.
- מסקנהכפל או חילוק במספר שלילי מהפך את כיוון הסימן. זהו ההבדל היחיד המהותי בין אי-שוויון לבין משוואה.
| נתון | המסקנה המתבקשת | האם היא נכונה |
|---|---|---|
| x² > 9 | x > 3 | לא — גם x = −4 מקיים, ולכן התשובה היא x>3 או x<−3 |
| x² < 9 | x < 3 | חלקית — התשובה המלאה היא −3 < x < 3 |
| x > 3 (נתון חיובי) | x² > 9 | נכון — העלאה בריבוע שומרת על הכיוון כששני האגפים חיוביים |
| x < −3 | x² > 9 | נכון, אך לא מסיבת הכיוון: שני האגפים שליליים והריבוע מהפך |
- הנתוניםנתון 2x = 5 − y, וגם נתון x < 2y. מבקשים מה נכון לגבי y.
- מתחילים מהמשוואהמהמשוואה אפשר לבודד: x = (5−y)/2. במשוואה אין מלכודת סימן, ולכן נוח להתחיל בה.
- מציבים באי-שוויוןבמקום x נכתוב את הביטוי שקיבלנו: (5−y)/2 < 2y.
- מכפילים ב-22 הוא מספר חיובי, ולכן הסימן נשאר: 5 − y < 4y.
- מעבירים אגפיםמעבירים את y לאגף שבו הוא יישאר חיובי: 5 < 5y.
- מחלקים ב-55 הוא מספר חיובי, ולכן הסימן נשאר: 1 < y, כלומר y גדול מ-1.
- מחפשים את הגורם המקשרנתון a < b וגם b < c. האיבר b מופיע בשניהם — הוא המקשר.
- כותבים את שניהם בשורה אחתa < b < c. התנאי לשרשור הוא שכל הסימנים פונים לאותו כיוון.
- מסיקיםa < c. אם הסימנים אינם באותו כיוון, צריך קודם להפוך אחד מהם.
- בודקים מה לא נובעאי אפשר לדעת את המרחקים: ייתכן ש-a קרוב מאוד ל-b ורחוק מאוד מ-c, או להפך.
- המקרה שאין בו מקשראם נתון a<b וגם c<d בלי איבר משותף, אי אפשר להסיק דבר על היחס בין a לבין c.
▶ בווידאו: מה מותר, מה אסור, ואיך משרשרים
הטעויות הנפוצות באי-שוויונות וציר המספרים — ואיך נמנעים מהן
שמירה על הסימן בכפל במינוס
חילוק במינוס 2 מהפך את כיוון הסימן. זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא, והיא כמעט תמיד מופיעה כאחד המסיחים.
כפל בנעלם שסימנו לא ידוע
הכפלה בנעלם היא הכפלה במספר שלא יודעים אם הוא חיובי או שלילי, ולכן לא ידוע אם הסימן נשמר. בלי נתון על סימנו של x הפעולה אסורה.
הוצאת שורש בלי המקרה השלילי
הריבוע מוחק את הסימן. גם מינוס 6 בריבוע הוא 36, שגדול מ-25, ולכן חצי מהפתרונות נעלמים בדרך הקצרה.
הסקה על מיקום האפס
אי-שוויון מוסר מידע על סדר בלבד. שניהם יכולים להיות חיוביים, שניהם שליליים, או אחד מכל סוג.
בלבול בין "גדול" לבין "גדול או שווה"
בשאלות "מה בהכרח נכון" ההבדל בין הכללת ערך הקצה לבין אי-הכללתו הוא בדיוק מה שמבדיל בין התשובה למסיח.
שרשור של סימנים בכיוונים מנוגדים
שניהם קטנים מ-b, אבל אין מידע על היחס ביניהם. לשרשור נדרש שהגורם המקשר יהיה גדול מאחד וקטן מהשני.
שאלות לדוגמה על אי-שוויונות וציר המספרים — עם פתרון מלא
שאלות מתוך מאגר התרגול של זינוק, בסגנון הבחינה. סמנו את התשובה שנראית לכם נכונה — ותקבלו מיד משוב ופתרון מלא.
הצג פתרון
1. הוסף 5 לשני האגפים: .
2. חלק ב-2 (חיובי, אז הסימן לא מתהפך): .
זהו. תשובה: .
המלכודת הקלאסית: לחלק ולשכוח את הכלל המיוחד — אם היית מחלק במספר שלילי, היית חייב להפוך את כיוון אי-השוויון. כאן זה לא קרה כי המקדם של חיובי (2), אבל בשאלה הבאה זה כן יקרה — תהיה דרוך.
תשובות בילבול: — מי שחילק לא נכון. — מי שהפך את הסימן בלי סיבה.
הצג פתרון
1. חסר 6 משני הצדדים: .
2. **חלק ב-**. שים לב — המקדם שלילי! אז גם הסימן מתהפך מ- ל-.
3. תוצאה: .
איך לזכור? סמן את המקדם השלילי בעיגול אדום לפני שאתה מחלק. זה דגל זהירות. שמרו את הניחוש לאתיופיה — פה רוצים תהליך מסודר.
המלכודת הקלאסית כאן ענקית: . מי ששוכח להפוך את הסימן נופל בה. גם אורבת — מי ששוכח שהמספר נשאר שלילי.
בדיקה: (גדול מ-). . נכון.
עכשיו תורכם: לתרגל אי-שוויונות וציר המספרים
ההסבר נגמר — עכשיו בודקים שזה באמת יושב. חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון, ולכל שאלה יש פתרון מלא.
חלק מהתרגול פתוח לכולם, את השאר פותחים עם מספר טלפון. השאלות נכתבו על ידי צוות ההוראה של זינוק.
מה תלמידים שואלים על אי-שוויונות וציר המספרים
האם פותרים אי-שוויון בדיוק כמו משוואה?
למה בכלל הסימן מתהפך בכפל במינוס?
מותר להכפיל אי-שוויון בנעלם?
איך מתמודדים עם אי-שוויון כפול כמו 2<x<7?
בהשוואה כמותית, אפשר פשוט להציב מספרים?
מה קורה לאי-שוויון כשלוקחים הופכי של שני האגפים?
רוצים להבין ככה כל נושא בפסיכומטרי?
קורס ההכנה לפסיכומטרי של זינוק מלמד את ההיגיון שמאחורי כל נושא — עם ליווי אישי, מאגר תרגול ענק והתחייבות לציון. יש גם מסלול ללקויי למידה וליווי בהקלות בבחינה.
- ליווי אישימורים שמלווים אתכם לאורך הדרך
- מאגר תרגולשאלות עם פתרון מלא, בסגנון הבחינה
- התחייבות לציוןלפי תנאי הקורס
מבוסס על חוברת הקורס של זינוקכל השאלות, האיורים והסרטונים בעמוד הם תוכן מקורי של זינוקעודכן 21.9.2026
