לאחר שהבנת את יסודות הגיאומטריה, הגיע הזמן להתעמק בנושא שכמעט תמיד מופיע במבחן הפסיכומטרי בחלק הכמותי – מצולעים משוכללים. בדף זה, נתמקד במשושה משוכלל ובצורה המפורסמת שנגזרת ממנו – מגן דוד. אם אתם מתכוננים לבחינה הפסיכומטרית, ההיכרות עם הנושא הזה עשויה להביא לכם נקודות יקרות, במיוחד בפרק הכמותי שבו שאלות גיאומטריה מהוות חלק משמעותי.
מה הקשר בין משושה משוכלל לפסיכומטרי?
בפרק הכמותי של הפסיכומטרי, שאלות העוסקות במצולעים משוכללים הן חלק בלתי נפרד מהמבחן. המשושה המשוכלל בפרט, מופיע בשאלות רבות בגלל התכונות המיוחדות שלו והקשר שלו לצורות אחרות. הבנה מעמיקה של הנושא הזה יכולה לעזור לכם לפתור מגוון רחב של שאלות, החל מחישובי היקף ושטח, דרך זוויות, ועד בעיות מורכבות יותר הקשורות למגן דוד ולצורות משולבות.
לפי נתוני המרכז הארצי לבחינות ולהערכה, כ-10-15% מהשאלות בפרק הכמותי עוסקות בגיאומטריה, ומתוכן חלק לא מבוטל מתייחס למצולעים משוכללים. מי שמתכנן לקחת קורס פסיכומטרי בקרוב, חשוב שיבין את החומר הזה לעומק.
הגדרות בסיסיות: מצולע משוכלל ומשושה משוכלל
לפני שנעמיק במשושה המשוכלל, נזכיר מהו בעצם מצולע משוכלל. מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות בגודלן. מצולעים משוכללים מהווים קבוצה "מיוחסת" בגיאומטריה בגלל הסימטריה המושלמת שלהם.
משושה משוכלל הוא מצולע בעל שישה צלעות, שכולן שוות באורכן, וכל הזוויות הפנימיות שלו שוות זו לזו (כל זווית שווה ל-120°). הוא אחד המצולעים המשוכללים הנפוצים ביותר בטבע – החל מתאי הכוורת של הדבורים ועד למבנים מולקולריים.
תכונות מתמטיות של המשושה המשוכלל
כאשר מתכוננים לפסיכומטרי, חשוב להכיר את התכונות המתמטיות של המשושה המשוכלל. הנה כמה מהתכונות החשובות ביותר:
נוסחאות בסיסיות למשושה משוכלל
אם נסמן ב-a את אורך הצלע של המשושה המשוכלל, אז:
| תכונה | נוסחה | הערות |
|---|---|---|
| היקף | 6a | פשוט מכפילים את אורך הצלע ב-6 |
| שטח | (3√3/2)a² | בערך 2.598a² |
| רדיוס המעגל החוסם | R = a | שווה לאורך הצלע |
| רדיוס המעגל החסום | r = (√3/2)a | בערך 0.866a |
| סכום הזוויות הפנימיות | 720° | (n-2)×180° כאשר n=6 |
| זווית פנימית | 120° | כל הזוויות שוות |
| זווית חיצונית | 60° | משלימה את הזווית הפנימית ל-180° |
אלכסונים במשושה משוכלל
למשושה משוכלל ישנם 9 אלכסונים (לפי הנוסחה n(n-3)/2 כאשר n=6). אלכסונים אלו יוצרים דפוסים מעניינים וקשרים גיאומטריים שחוזרים פעמים רבות בשאלות פסיכומטריות. אם מחברים את כל האלכסונים שעוברים דרך מרכז המשושה, נקבל את מגן דוד.
מגן דוד – הקשר למשושה משוכלל
מגן דוד הוא סמל המורכב משני משולשים שווי צלעות הפוכים זה לזה. כאשר משרטטים אותו בתוך משושה משוכלל, נוצרות תכונות גיאומטריות מעניינות שמופיעות לעתים קרובות בשאלות פסיכומטריות.
איך יוצרים מגן דוד ממשושה משוכלל?
כדי ליצור מגן דוד בתוך משושה משוכלל, פשוט מחברים את כל הקדקודים המשניים (כל קדקוד שני) של המשושה. הקווים האלו יוצרים שני משולשים שווי צלעות – אחד פונה כלפי מעלה והשני כלפי מטה. הצורה המתקבלת היא מגן דוד.
תכונות מתמטיות של מגן דוד בתוך משושה משוכלל
אם נסמן את אורך צלע המשושה המשוכלל ב-a, אז:
| תכונה | ערך | הסבר |
|---|---|---|
| אורך צלע המשולשים במגן דוד | 2a | פי שתיים מאורך צלע המשושה |
| שטח כל משולש במגן דוד | (√3)a² | שטח משולש שווה צלעות עם צלע באורך 2a |
| שטח מגן דוד (שני המשולשים) | 2(√3)a² | פעמיים שטח משולש |
| היחס בין שטח מגן דוד לשטח המשושה | 2/3 | מגן דוד תופס 2/3 משטח המשושה |
| מספר משושים קטנים שנוצרים | 6 | בפינות מגן דוד נוצרים 6 משושים קטנים |
| שטח כל משושון קטן | (√3/6)a² | 1/6 מההפרש בין שטח המשושה הגדול לשטח מגן דוד |
דוגמאות לשאלות פסיכומטריות הקשורות למשושה משוכלל ומגן דוד
להלן מספר סוגי שאלות נפוצות בפסיכומטרי העוסקות בנושא:
1. חישוב היחס בין שטח מגן דוד לשטח המשושה המשוכלל החוסם אותו.
2. חישוב שטח החלקים ה"לבנים" (השטח שנשאר במשושה לאחר הסרת מגן דוד).
3. חישוב היקף של מגן דוד בהינתן רדיוס המעגל החוסם את המשושה המשוכלל.
4. בעיות הקשורות לחפיפת משולשים ודמיון בתוך מגן דוד.
סטודנטים הזקוקים להקלות בפסיכומטרי צריכים להיות מודעים במיוחד לתכונות הבסיסיות של צורות אלו, כיוון שהן עשויות להפוך שאלה מורכבת לפשוטה הרבה יותר.
טיפים לפתרון שאלות על משושים משוכללים ומגן דוד
1. זכרו תמיד שמשושה משוכלל ניתן לחלוקה לשישה משולשים שווי צלעות שווים.
2. הקשר בין רדיוס המעגל החוסם לאורך הצלע הוא יחס של 1:1, כלומר הם שווים.
3. כאשר מציירים מגן דוד בתוך משושה, נוצר משושה קטן במרכז. שטחו של המשושה הקטן הוא 1/3 משטח המשושה הגדול.
4. כאשר אתם רואים שאלה עם משושה משוכלל, בדקו אם אפשר לפתור אותה באמצעות חלוקה למשולשים.
5. זכרו את היחסים הבסיסיים: במשושה משוכלל, כל זווית פנימית היא 120° וכל זווית חיצונית היא 60°.
שאלות נפוצות על משושים משוכללים ומגן דוד בפסיכומטרי
שאלה 1: מה ההבדל בין משושה סתם למשושה משוכלל?
משושה רגיל הוא כל צורה סגורה בעלת 6 צלעות, בעוד משושה משוכלל הוא משושה שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות (120 מעלות כל אחת).
שאלה 2: האם יש דרך מהירה לזכור את הנוסחה לשטח משושה משוכלל?
דרך קלה לזכור היא שמשושה משוכלל מורכב מ-6 משולשים שווי צלעות. שטח כל משולש הוא (√3/4)a², ולכן שטח המשושה הוא 6 כפול שטח זה, כלומר (3√3/2)a².
שאלה 3: מה היחס בין שטח משושה משוכלל לשטח המעגל החוסם אותו?
היחס בין שטח המשושה המשוכלל לשטח המעגל החוסם אותו הוא 3√3/2π, שהוא בערך 0.827. כלומר, המשושה תופס כ-82.7% משטח המעגל.
שאלה 4: האם מגן דוד תמיד יוצר משושה במרכזו?
כן, כאשר מציירים מגן דוד (שני משולשים שווי צלעות מוצלבים), תמיד נוצר משושה משוכלל במרכז.
שאלה 5: איך ניתן לחשב במהירות את היקף מגן דוד?
היקף מגן דוד שווה ל-12 פעמים אורך צלע המשולש המרכיב אותו. אם מגן הדוד נוצר בתוך משושה משוכלל שאורך צלעו a, אז אורך צלע המשולשים במגן דוד הוא 2a, ולכן ההיקף הכולל הוא 12a.
שאלה 6: כמה אלכסונים יש במשושה משוכלל?
במשושה משוכלל יש 9 אלכסונים. מספר האלכסונים במצולע בעל n צלעות ניתן על ידי הנוסחה n(n-3)/2. עבור משושה, n=6, ולכן מספר האלכסונים הוא 6(6-3)/2 = 9.
שאלה 7: מה המשמעות של העובדה שמשושה משוכלל ניתן לחסימה במעגל?
העובדה שמשושה משוכלל ניתן לחסימה במעגל משמעותה שכל קדקודיו נמצאים על מעגל אחד. תכונה זו נובעת מהסימטריה המושלמת של המשושה המשוכלל ומאפשרת לנו לחשב בקלות רבה יותר את התכונות הגיאומטריות שלו.
סיכום
המשושה המשוכלל ומגן הדוד הנגזר ממנו הם צורות גיאומטריות בעלות תכונות מיוחדות שמופיעות לעתים קרובות בשאלות בפרק הכמותי של הפסיכומטרי. הבנה עמוקה של התכונות הללו ושל הקשרים ביניהן יכולה לעזור לכם לפתור במהירות וביעילות שאלות רבות. זכרו את הנוסחאות הבסיסיות לחישוב שטח והיקף, וכן את היחסים בין הצורות השונות. עם קצת תרגול, תוכלו להתמודד בהצלחה עם כל שאלה שתיתקלו בה בנושא זה!
