שטחים מושחרים – סכום זוויות במשושה

שטחים מושחרים – סכום זוויות במשושה

אם אתם נמצאים בהכנות לפסיכומטרי, כבר הבנתם שהחלק הכמותי מציב בפניכם אתגרים מגוונים. אחד מהם מתקשר לשאלות גיאומטריה מורכבות, ובייחוד אלה העוסקות בשטחים מושחרים ובתכונות של מצולעים. נושא סכום הזוויות במשושה מופיע לא פעם בבחינה, לרוב במסגרת שאלות חשיבה מרחבית או במסגרת בעיות הנוגעות לשטחים. בואו נצלול לנושא ונבין איך להתמודד איתו בהצלחה!

מה הם שטחים מושחרים בפסיכומטרי?

שטחים מושחרים בפסיכומטרי הם חלק מאותן שאלות מתעתעות בחלק הכמותי, שבהן נדרשים למצוא שטח של אזור מסוים בתוך צורה גיאומטרית. לרוב, השטח הזה “מושחר” או מסומן בדרך כלשהי בשאלה. ההתמודדות עם שאלות אלה דורשת ידע בנוסחאות בסיסיות של שטחים וזוויות, כמו גם חשיבה יצירתית ומציאת דרכים עקיפות לפתרון.

כשמדובר במשושה, הדבר מסתבך מעט יותר מאשר במרובעים פשוטים. במהלך קורס פסיכומטרי תלמדו אסטרטגיות שונות להתמודד עם שאלות אלה, אבל בינתיים הנה כמה עקרונות בסיסיים שיעזרו לכם.

העקרונות המתמטיים מאחורי סכום זוויות במשושה

כדי להבין איך לפתור בעיות הקשורות לשטחים מושחרים במשושה, עלינו קודם כל להכיר את התכונות הבסיסיות של משושה:

במצולע כלשהו בעל n צלעות, סכום הזוויות הפנימיות הוא: (n-2) × 180°. עבור משושה (n=6), סכום הזוויות הפנימיות הוא (6-2) × 180° = 4 × 180° = 720°.

אם מדובר במשושה משוכלל (כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות), אז כל זווית פנימית שווה ל-720° ÷ 6 = 120°.

מידע זה חיוני כאשר עוסקים בשאלות הדורשות חישוב שטחים חלקיים במשושה, במיוחד כאשר צריך לחלק את המשושה למשולשים או מרובעים כדי לחשב שטחים מושחרים.

אסטרטגיות לפתרון שאלות עם שטחים מושחרים במשושה

הנה כמה אסטרטגיות יעילות שיעזרו לכם להתמודד עם שאלות העוסקות בשטחים מושחרים במשושה:

1. פירוק המשושה למשולשים

אחת השיטות הנפוצות ביותר היא לחלק את המשושה למשולשים על ידי העברת אלכסונים מקודקוד אחד לכל שאר הקודקודים. במשושה ניתן להעביר 3 אלכסונים מקודקוד אחד ולקבל 4 משולשים. חישוב שטח המשולשים וחיבורם יאפשר לכם לחשב את שטח המשושה כולו, או את השטח המושחר.

2. שימוש בסימטריה

אם המשושה סימטרי, ניתן לנצל זאת כדי לפשט חישובים. לדוגמה, במשושה משוכלל, ניתן לחשב שטח של חלק מסוים ואז להכפיל פי מספר החלקים הזהים.

3. שיטת ההפרש

לפעמים קל יותר לחשב את השטח שאינו מושחר ולחסר אותו מהשטח הכולל. במיוחד כאשר השטח המושחר בעל צורה מורכבת.

4. שימוש בנוסחאות ספציפיות למשושה משוכלל

אם מדובר במשושה משוכלל, יש נוסחאות ספציפיות שיכולות לעזור:

שטח משושה משוכלל = (3√3 × R²) ÷ 2, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

שטח משושה משוכלל = (3√3 × s²) ÷ 2, כאשר s הוא אורך הצלע.

שליטה בנוסחאות אלה חוסכת זמן יקר במהלך הבחינה.

טבלת השוואה בין סוגי משושים והשלכותיהם על חישובי שטחים

סוג המשושה	תכונות	סכום זוויות פנימיות	אסטרטגיית חישוב שטחים מומלצת	שכיחות בפסיכומטרי
משושה משוכלל	כל הצלעות והזוויות שוות	720°	נוסחת שטח ישירה או חלוקה למשולשים שווי צלעות	גבוהה
משושה קמור רגיל	צלעות וזוויות שונות	720°	חלוקה למשולשים או מרובעים פשוטים יותר	בינונית
משושה קעור	לפחות זווית פנימית אחת גדולה מ-180°	720°	חלוקה זהירה למשולשים תוך התחשבות בכיוון הזוויות	נמוכה
משושה על רשת נקודות	הקודקודים על נקודות רשת	720°	שימוש בנוסחת פיק או ספירת נקודות פנימיות וגבוליות	בינונית
משושה החסום במעגל	כל הקודקודים נמצאים על מעגל	720°	שימוש במאפייני מעגל חוסם ונוסחאות רדיוס	בינונית-גבוהה

דוגמאות טיפוסיות משאלות הפסיכומטרי

כדי להמחיש את הנושא, הנה דוגמה טיפוסית לשאלה העוסקת בשטחים מושחרים במשושה:

נתון משושה משוכלל שאורך צלעו 4 ס”מ. חלק מהמשושה מושחר כמתואר בשרטוט (נניח שהחלק המושחר הוא משולש בעל בסיס שהוא אחת מצלעות המשושה וקודקוד שהוא מרכז המשושה). מהו שטח החלק המושחר?

כדי לפתור שאלה כזו, תחילה נחשב את שטח המשולש (החלק המושחר). במשושה משוכלל, המרחק ממרכז המשושה לכל אחת מהצלעות שווה לאפותם של משולש שווה צלעות שצלעו כצלע המשושה. לכן, גובה המשולש המושחר יהיה רדיוס המעגל החוסם של המשושה, שניתן לחשבו באמצעות אורך הצלע.

זו רק דוגמה אחת, אבל היא ממחישה את הצורך להכיר היטב את תכונות המשושה ולדעת לעבוד עם משולשים ושטחים.

איך להתכונן לשאלות שטחים מושחרים במשושה?

ההכנה לשאלות מסוג זה צריכה להיות מתודית ומבוססת על תרגול שיטתי. חשוב לזכור שבחלק הכמותי של הפסיכומטרי אתם נבחנים לא רק על ידע אלא גם על מהירות וחשיבה יצירתית. אם אתם זקוקים להקלות בפסיכומטרי, אל תשכחו לבדוק את הזכאות שלכם מבעוד מועד.

צעדים מומלצים בהכנה:

1. למדו היטב את הנוסחאות הרלוונטיות למשושים ושטחים.

2. תרגלו שאלות מגוונות העוסקות במשושים ובמצולעים בכלל.

3. פתחו “ארגז כלים” של אסטרטגיות לפתרון, כולל פירוק לצורות פשוטות יותר.

4. תרגלו בתנאי זמן כדי לשפר את מהירות הפתרון.

5. נתחו שגיאות שאתם עושים ולמדו מהן.

שאלות נפוצות על שטחים מושחרים וסכום זוויות במשושה

1. האם בפסיכומטרי יכולה להופיע שאלה על משושה לא משוכלל?

כן, למרות שרוב השאלות יעסקו במשושה משוכלל בשל תכונותיו הסימטריות, יכולות להופיע גם שאלות על משושים לא משוכללים. בשאלות אלה תידרשו לרוב להשתמש בעקרונות חלוקה למשולשים או מרובעים פשוטים יותר.

2. האם צריך לזכור את כל הנוסחאות של משושה לפסיכומטרי?

לא חובה לזכור את כל הנוסחאות, אבל כדאי מאוד להכיר את הנוסחה לסכום זוויות במצולע כלשהו ואת הנוסחה הבסיסית לשטח משושה משוכלל. את שאר החישובים ניתן לבצע באמצעות חלוקה לצורות פשוטות יותר.

3. כמה זמן מומלץ להקדיש לשאלה העוסקת בשטחים מושחרים במשושה?

בממוצע, שאלה כזו עשויה להיות ברמת קושי בינונית עד גבוהה ולהצריך 2-3 דקות. אם אתם מתקשים מעבר לכך, כדאי לסמן את השאלה ולחזור אליה אם יישאר זמן.

4. איך אדע לזהות שהשאלה דורשת שימוש בתכונות של משושה?

בדרך כלל השאלה תכלול שרטוט של המשושה או תיאור מילולי ברור. חפשו מילות מפתח כמו “משושה”, “שישה צלעות” או אזכור של 6 קודקודים.

5. האם יש דרך קלה לזכור את סכום הזוויות הפנימיות במשושה?

הדרך הפשוטה ביותר היא להשתמש בנוסחה הכללית למצולעים: (n-2) × 180°. עבור משושה, זה יהיה (6-2) × 180° = 720°. או פשוט לזכור את המספר 720°.

6. האם נדרש ידע בטריגונומטריה לפתרון שאלות על משושים?

לא בהכרח. רוב השאלות ניתנות לפתרון בעזרת גיאומטריה בסיסית. במקרים מסוימים, ידע בטריגונומטריה יכול לספק דרך פתרון אלגנטית יותר, אבל זה לא חיוני.

7. מה עושים אם השאלה עוסקת במשושה קעור?

משושה קעור מורכב יותר, אבל העיקרון זהה – סכום הזוויות הפנימיות עדיין 720°. יש להיזהר בחלוקה למשולשים ולקחת בחשבון את כיוון הזוויות. במרבית המקרים, ניתן לחלק גם משושה קעור למשולשים ולעבוד איתם.

סיכום

הבנת נושא השטחים המושחרים וסכום הזוויות במשושה היא חלק חשוב מההכנה לחלק הכמותי בפסיכומטרי. כפי שראינו, הנושא דורש שליטה בעקרונות בסיסיים של גיאומטריה, יכולת לפרק משושה לצורות פשוטות יותר, ושימוש חכם בנוסחאות ובתכונות של מצולעים.

זכרו שהמפתח להצלחה בשאלות מסוג זה הוא תרגול מתמיד ופיתוח יכולת לראות את התמונה הגדולה – כיצד צורות גיאומטריות מתחברות יחדיו ומהן התכונות שמאפשרות פתרון יעיל. בהצלחה בפסיכומטרי!