חזקות ושורשים – בסיסים זהים ונוסחת הכפל המקוצר השלישית של זינוק
כשמדברים על אלגברה בפסיכומטרי, רבים מדמיינים נוסחאות יבשות וחישובים מעייפים. אבל האמת? מי שמבין את הבסיסים הזהים ואת נוסחאות הכפל המקוצר – ובעיקר את השלישית שבהן – מקבל מפתח שמקצר תהליכים, חוסך זמן ופותח דלת לפתרון חכם ומהיר.
במאמר הזה נבין איך עובדים עם חזקות ושורשים כשיש בסיסים זהים, מה הקשר בין זה לבין הכפל המקוצר השלישי, ואיך זה מופיע בבחינה הפסיכומטרית.
מה זה אומר “בסיסים זהים”?
באלגברה, כאשר מדובר בחזקות או שורשים של מספרים או משתנים שיש להם את אותו הבסיס, אנחנו יכולים לפשט את הביטוי בעזרת כללי חזקות ושורשים.
דוגמאות:
- a3⋅a2=a5a^3 \cdot a^2 = a^{5}a3⋅a2=a5
- a2=a\sqrt{a^2} = aa2=a
- a5a2=a3\frac{a^5}{a^2} = a^3a2a5=a3
היכולת לזהות בסיסים זהים ולשלב אותם בחשבון אלגברי מאפשרת לפתור ביטויים מסובכים בצורה פשוטה ומהירה.
נוסחת הכפל המקוצר השלישית – “הפרש ריבועים”
זו אחת הנוסחאות האהובות והנפוצות בפסיכומטרי:
(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a – b) = a^2 – b^2(a+b)(a−b)=a2−b2
למה היא חשובה?
- היא קיצור דרך מהיר לפיתוח סוגריים.
- היא כלי לפירוק ביטויים שנראים מורכבים אבל מסתירים מבנה פשוט.
- היא עוזרת לשלב חזקות, שורשים ובסיסים זהים לפתרון אלגנטי.
דוגמה קלאסית:
(x+3)(x−3)=x2−9(x + 3)(x – 3) = x^2 – 9(x+3)(x−3)=x2−9
דוגמה מתקדמת:
(5+2)(5−2)=5−4=1(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} – 2) = 5 – 4 = 1(5+2)(5−2)=5−4=1
איך מחברים את זה לחזקות ושורשים?
כאשר הביטוי כולל שורש או חזקה, נוכל לזהות מבנה של כפל מקוצר ולהפוך אותו למשהו פשוט הרבה יותר.
דוגמה:
(x+4)(x−4)=x−16(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} – 4) = x – 16(x+4)(x−4)=x−16
או:
(x2+1)(x2−1)=(x2)2−1=x4−1(x^2 + 1)(x^2 – 1) = (x^2)^2 – 1 = x^4 – 1(x2+1)(x2−1)=(x2)2−1=x4−1
שימו לב: כל עוד יש אותו ביטוי בשני הסוגריים – פעם עם פלוס, פעם עם מינוס – אפשר להפעיל את נוסחת הכפל המקוצר השלישית.
חזקות, שורשים ונוסחת הכפל המקוצר
| סוג פעולה | כלל חישוב | דוגמה |
| כפל חזקות עם בסיס זהה | am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}am⋅an=am+n | x2⋅x3=x5x^2 \cdot x^3 = x^5×2⋅x3=x5 |
| חילוק חזקות | am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}am:an=am−n | y5:y2=y3y^5 : y^2 = y^3y5:y2=y3 |
| חזקה של חזקה | (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n | (x2)3=x6(x^2)^3 = x^6(x2)3=x6 |
| שורש של חזקה | a2=a\sqrt{a^2} = aa2=a | 9×2=3x\sqrt{9x^2} = 3x9x2=3x |
| כפל מקוצר שלישי | (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a – b) = a^2 – b^2(a+b)(a−b)=a2−b2 | (x+2)(x−2)=x2−4(x + 2)(x – 2) = x^2 – 4(x+2)(x−2)=x2−4 |
איפה זה מופיע בפסיכומטרי?
שאלות רבות בפרק הכמותי כוללות פירוק ביטויים, פישוט שורשים, וזיהוי תבניות מוכרות.
מי שלא מזהה את נוסחת הכפל המקוצר – ייגש לפתרון בדרכים איטיות שיבזבזו זמן.
🎯 אבל מי ששולט בה – מקצר תהליכים ומרוויח דקות זהב.
איך לומדים את זה בזינוק?
בקורס הפסיכומטרי של זינוק, אנחנו מלמדים איך לזהות תבניות קבועות כמו הכפל המקוצר השלישי, איך לשלב כללי חזקות ושורשים, ואיך לגשת לשאלות בצורה שתמקסם את הציון.
- מדריכים עם ניסיון בהוראה ללקויי למידה.
- קבוצות קטנות וליווי אישי.
- תרגול ממוקד שמבוסס על זיהוי דפוסים.
- דגש על הבנה, לא רק שינון.
שאלות ותשובות נפוצות
- מה ההבדל בין שלוש נוסחאות הכפל המקוצר?
השלישית עוסקת בהפרש בין סכום להפרש – אין בה איבר עם ab, וזה היתרון שלה בפירוק ביטויים. - איך יודעים מתי להשתמש בכפל מקוצר שלישי?
כשיש שני סוגריים – אחד עם פלוס ואחד עם מינוס – ובתוכם אותם איברים בדיוק. - האם מותר להפעיל את הנוסחה גם כשיש שורשים?
כן! כל עוד הביטוי עומד בתבנית, זה עובד – גם עם שורשים, חזקה או משתנים. - מה עושים כשלא בטוחים אם אפשר לפשט?
בודקים אם שני הסוגריים זהים בביטויים, ורק סימן שונה ביניהם. זו האינדיקציה המרכזית. - האם כדאי לשנן או להבין?
להבין – ואז לתרגל. ההבנה תישאר אתכם הרבה אחרי הפסיכומטרי. - באילו שאלות מופיע כפל מקוצר שלישי בפסיכומטרי?
בשאלות פירוק, פישוט והצבת ערכים. לעיתים גם בהשוואת כמויות. - האם יש שיטה מהירה לזהות את זה במבחן?
כן – בעין חדה ובתרגול נכון. ככל שתראו יותר תרגילים, כך תזהו את זה אוטומטית.
סיכום – שליטה בכפל מקוצר + חזקות = יתרון ברור
הבנה עמוקה של כללי חזקות, עבודה עם שורשים וזיהוי של בסיסים זהים הם לא רק חלק מהידע המתמטי – הם כלי עבודה קריטי בפסיכומטרי. הוסיפו לזה את נוסחת הכפל המקוצר השלישית – ותקבלו קיצור דרך שעושה את ההבדל בין פתרון איטי מלא ניסיונות, לבין פתרון מדויק ב-10 שניות.
וזה בדיוק ההבדל בין ציון סביר – לציון שמקפיץ אתכם לתואר שאתם רוצים.
בקורס הפסיכומטרי של זינוק אנחנו לא מסתפקים בללמד נוסחאות – אנחנו מלמדים לחשוב, לזהות דפוסים, לבחור את הדרך הקצרה – ולבנות ביטחון מתמטי, גם אם שנים הרגשתם אחרת.
כי כל תלמיד אצלנו, גם אם בא בלי בסיס – יוצא עם שיטה.
