זוויות במשולש – זווית חיצונית למשולש 2
כשמדברים על זוויות במשולש וזווית חיצונית למשולש בפרט, אנחנו נכנסים לנושא מרכזי בפרק הכמותי של הפסיכומטרי. זה לא סתם עוד חומר לימוד, אלא נושא שחוזר על עצמו פעם אחר פעם במבחן הפסיכומטרי – לפעמים בצורה גלויה ולפעמים מוסתרת בתוך שאלות מורכבות. מבין הנושאים השונים בגיאומטריה, זוויות במשולש נחשבות לחומר בסיסי שחובה לדעת ברמה גבוהה, כי הן משמשות בסיס להבנת נושאים מתקדמים יותר.
מהי זווית חיצונית למשולש?
לפני שנכנסים לעומק, חשוב להבין מהי בכלל זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית נוצרת כאשר מאריכים את אחת מצלעות המשולש מעבר לקודקוד. הזווית שנוצרת בין המשך הצלע לבין הצלע הסמוכה היא הזווית החיצונית. זה נשמע מסובך? בואו ננסח זאת אחרת: אם נמשיך צלע מעבר לאחד הקודקודים, הזווית בין ההמשך לבין הצלע השנייה היא הזווית החיצונית.
חשוב לציין שלכל משולש יש שישה זוויות חיצוניות אפשריות (שתיים בכל קודקוד). הכלל החשוב ביותר לזווית חיצונית הוא שהיא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. זה אחד החוקים החשובים ביותר בגיאומטריה של משולשים, וכמעט בכל מבחן פסיכומטרי תופיע שאלה אחת לפחות המתבססת על חוק זה.
איך זה קשור לפסיכומטרי?
בחלק הכמותי של הפסיכומטרי, שאלות על זוויות במשולש ובפרט על זווית חיצונית מופיעות בתדירות גבוהה. למה? כי אלה נושאים בסיסיים שמאפשרים לבודקים לבחון את הבנת הנבחנים בגיאומטריה אלמנטרית. יותר מזה, הם מהווים את אבני הבניין לשאלות מורכבות יותר הקשורות לדמיון משולשים, משפט פיתגורס ונושאים גיאומטריים מתקדמים.
נבחנים רבים שמשתתפים בקורס פסיכומטרי מגלים שלמרות שלמדו את החומר בתיכון, הם זקוקים לריענון ותרגול בנושא הזוויות. הסיבה לכך היא שהפסיכומטרי לא רק בודק ידע, אלא גם את היכולת ליישם אותו בצורה יצירתית ומהירה תחת לחץ זמן. במבחן הפסיכומטרי אין זמן לשרטט משולשים באופן מדויק ולמדוד זוויות – אתם צריכים לדעת את הכללים בעל פה ולהפעיל אותם במהירות.
התכונות החשובות של זווית חיצונית למשולש
ישנן מספר תכונות מפתח שחייבים לדעת על זווית חיצונית למשולש:
| תכונה | הסבר | שימוש בפסיכומטרי |
|---|---|---|
| שוויון לסכום זוויות פנימיות | זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה | מאפשר חישוב זוויות חסרות במשולש |
| קשר לזווית פנימית צמודה | זווית חיצונית וזווית פנימית צמודה משלימות ל-180° | עוזר בפתרון בעיות עם מצולעים משוכללים |
| תכונת הזווית החיצונית במשולש ישר-זווית | במשולש ישר-זווית, זווית חיצונית לזווית החדה תהיה גדולה מ-90° | שימושי בזיהוי משולשים ישרי-זווית |
| מינימום וגדלות | זווית חיצונית תמיד גדולה מכל אחת מהזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה | עוזר בשאלות השוואה כמותית |
אסטרטגיות לפתרון שאלות על זווית חיצונית למשולש
הנה כמה אסטרטגיות שיעזרו לכם להתמודד עם שאלות בנושא זוויות חיצוניות במשולש:
1. זיהוי מהיר של הזווית החיצונית
בשאלות פסיכומטריות, לא תמיד מציינים במפורש איזו זווית היא חיצונית. אתם צריכים לזהות אותה בעצמכם מתוך השרטוט או תיאור המילולי. זיהוי מהיר יחסוך לכם זמן יקר במבחן.
2. שימוש בחוק סכום הזוויות במשולש
תמיד זכרו שסכום הזוויות הפנימיות במשולש הוא 180°. שילוב של חוק זה עם תכונת הזווית החיצונית יכול לפתור את רוב השאלות בנושא.
3. שרטוט נכון ומדויק
אל תסמכו רק על השרטוט שניתן בשאלה (אם בכלל ניתן). שרטטו לעצמכם את המשולש והזוויות החיצוניות באופן ברור, והקפידו לסמן את הנתונים. שרטוט טוב שווה אלף מילים, במיוחד בגיאומטריה.
4. התמקדות בזוויות הנכונות
זכרו שזווית חיצונית קשורה רק לשתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. אל תתבלבלו עם הזווית הפנימית הצמודה!
סטודנטים רבים, במיוחד אלה שזכאים להקלות בפסיכומטרי, מתקשים לעיתים בהבנה מרחבית של זוויות. לכן חשוב במיוחד לתרגל את הנושא הזה באופן יסודי ולפתח אינטואיציה גיאומטרית טובה.
מקרים מיוחדים של זוויות חיצוניות
בפסיכומטרי, לא תמיד השאלות יהיו פשוטות וישירות. לעיתים קרובות תצטרכו להתמודד עם מקרים מיוחדים:
זווית חיצונית במשולש שווה-שוקיים
במשולש שווה-שוקיים, שתי זוויות הבסיס שוות. כאשר מחשבים זווית חיצונית, יש להתחשב בתכונה זו. לדוגמה, זווית חיצונית לראש המשולש שווה לפעמיים זווית הבסיס.
זווית חיצונית במשולש שווה-צלעות
במשולש שווה-צלעות, כל הזוויות הפנימיות שוות ל-60°. לכן, כל זווית חיצונית שווה ל-120° (סכום שתי זוויות פנימיות שאינן צמודות לה, כלומר 60°+60°).
זווית חיצונית במשולש ישר-זווית
במשולש ישר-זווית, אחת הזוויות היא 90°. זווית חיצונית לאחת הזוויות החדות תהיה שווה ל-90° ועוד הזווית החדה האחרת.
לפעמים, שאלות על זוויות חיצוניות מופיעות בהקשר של מעגלים, דמיון משולשים או אפילו בבעיות תנועה. לכן חשוב להבין את הנושא לעומק ולא רק לזכור נוסחאות.
שאלות נפוצות על זווית חיצונית למשולש
1. איך אפשר לזהות זווית חיצונית בשרטוט?
זווית חיצונית נמצאת תמיד מחוץ למשולש, ונוצרת על ידי המשך אחת הצלעות מעבר לקודקוד. היא תמיד צמודה לזווית פנימית, ויחד הן יוצרות זווית שטוחה (180°).
2. כמה זוויות חיצוניות יש למשולש?
לכל משולש יש 6 זוויות חיצוניות אפשריות – שתיים בכל קודקוד (אחת מכל צד). בדרך כלל, בשאלות פסיכומטריות מתייחסים רק לאחת או לכמה מהן, לא לכולן.
3. מה הקשר בין זווית חיצונית לזוויות פנימיות?
זווית חיצונית שווה לסכום של שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. למשל, אם הזוויות הפנימיות הן 30°, 60° ו-90°, אז הזווית החיצונית לזווית של 30° תהיה 60°+90°=150°.
4. האם זווית חיצונית יכולה להיות שווה לזווית פנימית?
לא בתוך אותו משולש. זווית חיצונית תמיד גדולה מכל אחת מהזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. אבל אם משווים בין משולשים שונים, אז בהחלט ייתכן מצב כזה.
5. איך משתמשים בתכונות של זווית חיצונית בפתרון בעיות מורכבות?
תכונות הזווית החיצונית משמשות כאבני בניין בפתרון בעיות. למשל, אם ידועות שתי זוויות פנימיות, אפשר למצוא את הזווית החיצונית. באותו אופן, אם ידועה זווית חיצונית וזווית פנימית אחת, ניתן למצוא את הזווית הפנימית השנייה.
6. האם בפסיכומטרי מופיעות שאלות על זוויות חיצוניות גם במצולעים אחרים?
כן. למרות שהמושג “זווית חיצונית” מתקשר בעיקר למשולשים, הוא רלוונטי גם למצולעים אחרים. במצולע בעל n צלעות, סכום הזוויות החיצוניות (אחת בכל קודקוד) הוא תמיד 360°. זה כלל חשוב שעשוי להופיע בשאלות מורכבות יותר.
7. האם יש נוסחה אוניברסלית לחישוב זווית חיצונית?
הנוסחה הבסיסית היא: זווית חיצונית = 180° – זווית פנימית צמודה. באופן שקול, זווית חיצונית = סכום שתי הזוויות הפנימיות האחרות במשולש. שתי הנוסחאות האלה מספיקות לפתרון רוב השאלות בנושא.
סיכום: זווית חיצונית למשולש והפסיכומטרי
הבנת התכונות והחוקים של זוויות חיצוניות במשולש היא יותר מסתם חומר לימוד לפסיכומטרי – זה כלי חשיבה שמפתח את היכולת האנליטית שלכם. כפי שראינו, הנושא הזה עשוי להופיע בשאלות בדרגות קושי שונות, מהפשוטות ועד המורכבות ביותר.
השליטה בנושא הזוויות החיצוניות, יחד עם שאר נושאי הגיאומטריה, תתרום משמעותית להצלחתכם בחלק הכמותי של הפסיכומטרי. זכרו שהמפתח להצלחה הוא לא רק לדעת את החומר, אלא גם לתרגל מספיק כדי לפתח אינטואיציה ומהירות בפתרון. תרגול קבוע ופתרון שאלות מגוונות בנושא הזוויות החיצוניות יבנו את הביטחון שלכם ויחסכו לכם זמן יקר במבחן האמיתי.
